Duális számok

A duális számok halmaza a valós számkör bővítése úgy, hogy felveszünk egy ε≠0 elemet, amelyre teljesül az ε²=0 egyenlőség.
Így duális számok azok, amelyek felírhatók ${\displaystyle z=a+b\varepsilon \,}$ alakban.

A duális számok tekinthetők egy egydimenziós vektortér külső algebrájának. Az általános, n dimenziós eset a Grassmann-számokhoz vezet. A komplex számokhoz és a hasított komplex számokhoz hasonlóan a síkalgebra egyik megvalósítása.

Konstrukció

A duális számokat a komplexekhez hasonlóan többféleképpen konstruálhatjuk:

• Rendezett párokként a megfelelő műveletek definiálásával
• Meghatározott alakú mátrixokként a szokásos mátrixszorzással és összeadással

Legyen ${\displaystyle a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$

A mátrixszorzás az ilyen mátrixok között kommutatív:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\0&a_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\0&a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}a_{2}&b_{1}a_{2}+b_{2}a_{1}\\0&a_{1}a_{2}\end{pmatrix}}}$

és

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{2}&b_{2}\\0&a_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\0&a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}a_{1}&b_{2}a_{1}+b_{1}a_{2}\\0&a_{2}a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}a_{2}&b_{1}a_{2}+b_{2}a_{1}\\0&a_{1}a_{2}\end{pmatrix}}}$

• A ${\displaystyle \mathbf {R} [X]/(X^{2})}$ gyűrűből, azaz a valósak feletti álló polinomok ${\displaystyle X^{2}}$-tel vett maradékosztályaiból,

ugyanúgy, ahogyan a komplex számokat tekinthetjük a valósak feletti polinomok ${\displaystyle X^{2}+1}$-gyel vett maradékosztályainak.

Ezek a definíciók algebrailag ekvivalensek.

Műveletek

Alapműveletek

Összeadás:

${\displaystyle (a+b\varepsilon )+(c+d\varepsilon )=(a+c)+(b+d)\varepsilon \,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}c&d\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+c&b+d\\0&a+c\end{pmatrix}}}$

Szorzás:

${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+ad\varepsilon +bc\varepsilon +bd\varepsilon ^{2}=ac+(ad+bc)\varepsilon \,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac&bc+da\\0&ac\end{pmatrix}}}$

Következmények

Osztás:

${\displaystyle {a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon }={a \over c}+{(cb-ad) \over c^{2}}\varepsilon }$

Csak akkor értelmezett, ha ${\displaystyle c\neq 0\,}$ Ha c = 0, akkor a duális szám nulla, vagy nullosztó, ezért a duális számok nem alkotnak testet. Ha c nulla, de d nem, akkor az

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

egyenlet nem oldható meg, ha a nem nulla, és ha nulla, akkor bármely

${\displaystyle {b \over d}+{y\varepsilon }}$

duális szám megoldás. Így a tisztán duális számok triviális nullosztók, és ideált alkotnak a duális számok gyűrűjében.

Gyökvonás:

${\displaystyle {\sqrt {a+b\varepsilon }}={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}b\varepsilon }$

Csak akkor értelmezett, ha ${\displaystyle a>0\,}$

Definíciók

Konjugáció:

${\displaystyle a+b\varepsilon \mapsto a-b\varepsilon }$

${\displaystyle z}$ konjugáltjának jele ${\displaystyle z*}$

Algebrai tulajdonságok

A duális számok a fenti definíciókkal kommutatív egységelemes gyűrűt és a valós számok felett algebrát alkotnak. Karakterisztikájuk 0. Algebrájuk kétdimenziós a valós számok fölött. A valós számokkal szemben a duális számok nem alkotnak testet. Ennek akadályai a nullosztók: a 0 + bε alakú elemeknek nem lehet inverzük.

Geometria

Az egységkört azok a duális számok alkotják, ahol a = 1 vagy −1, mivel z z* = 1 ahol z* = a − bε. Ezzel szemben

${\displaystyle \exp(b\varepsilon )=\left(\sum _{n=0}^{\infty }(b\varepsilon )^{n}/n!\right)=1+b\varepsilon }$,

így az ε tengelyre alkalmazott exponenciális leképezés csak a kör felét fedi.

Legyen z = a + b ε! Ha a ≠ 0 és m = b /a, akkor z = a(1 + m ε) a z duális szám, és az m meredekség az argumentuma. A forgatás a duális számsíkon tengelypárhuzamos nyírás, mivel (1 + p ε)(1 + q ε) = 1 + (p+q) ε.

Az abszolút téridőben a

${\displaystyle (t',x')=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\ ,}$ azaz ${\displaystyle \ \ t'=t,\ \ x'=vt+x,}$

Galilei-transzformáció a nyugvó koordináta-rendszert a v sebességű mozgó kerettel hozza kapcsolatba. Az egydimenziós tér eseményeit reprezentáló t + x ε duális szám ugyanezt a (1 + v ε)-nal való szorzással fejezi ki.

Adott p és q duális számok meghatározzák a duális számoknak egy halmazát, amiben az egyes elemektől a p és q számokhoz húzott egyenes szakaszok meredeksége konstans. A duális számok síkján ez kör. Mivel az egyenlet, ami konstanssá teszi a meredekségeket, kvadratikus a valós részben, ezek a körök esetleg elfajult parabolák. A ciklikus forgatás a duális számokon egy projektív egyenes mozgásának feleltethető meg. Yaglom szerint^[1] a Z = {z : y = α x²} kör invariáns az

${\displaystyle x_{1}=x,\ \ y_{1}=vx+y}$ nyírás és az

${\displaystyle x'=x_{1}=v/2a,\ \ y'=y_{1}+v^{2}/4a}$ eltolás kompozíciójára.

Ez a transzformáció ciklikus forgatás, amivel V. V. Kisil bővebben foglalkozott.^[2]

Duális számok és függvények

A duális számokon értelmezhetjük az egész kitevőjű hatványozást, így a polinomokat is.

Ha adott egy ${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+...+p_{n}x^{n}}$ polinom, akkor ezt alkalmazhatjuk egy duális számra. Észrevehetjük, hogy ${\displaystyle P(a+b\varepsilon )=P(a)+bP^{\prime }(a)\varepsilon \,}$, ahol ${\displaystyle P^{\prime }}$ a ${\displaystyle P}$ deriváltja.^[3]

Ezt a polinomokról kiterjeszthetjük az valós analitikus függvényekre:
${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf^{\prime }(a)\varepsilon }$

A deriváltak megjelenését az a tulajdonság indokolja, hogy az ${\displaystyle \varepsilon }$ hasonlóan viselkedik, mint a nemstandard analízisben a végtelenül kicsi mennyiségek, hiszen a négyzetével nem kell tovább számolni, elhagyható.

Néhány függvény a duális számokon

${\displaystyle \sin(a+b\varepsilon )=\sin(a)+b\cos(a)\varepsilon \,}$
${\displaystyle \cos(a+b\varepsilon )=\cos(a)-b\sin(a)\varepsilon \,}$
${\displaystyle e^{(a+b\varepsilon )}=e^{a}(1+b\varepsilon )\,}$
${\displaystyle ln(a+b\varepsilon )=ln(a)+{b \over a}\varepsilon \,}$

Modulus és argumentum

A komplex számokhoz hasonlóan a duális számokon is értelmezhető a modulus és az argumentum fogalma. A modulust határozzuk meg a konjugált fogalmával:
${\displaystyle \rVert a+b\varepsilon \lVert ={\sqrt {(a+b\varepsilon )(a-b\varepsilon )}}=a}$
Ez összhangban van azzal, hogy ${\displaystyle \varepsilon }$ bizonyos értelemben kicsi.

Az argumentum legyen
${\displaystyle \arg(a+b\varepsilon )={\frac {b}{a}}}$
Így a komplexekkel analóg módon
${\displaystyle z=\rVert z\lVert e^{\varepsilon \arg(z)}}$

Megmarad az a tulajdonság is, hogy szorzásnál az eredmény modulusa az eredeti modulusok szorzata és az eredmény argumentuma az eredeti argumentumok összege.

Projektív egyenes

A duális számok fölötti projektív egyenessel Grünwald^[4] és Corrado Segre.^[5] foglalkozott behatóbban.

Ahogy a Riemann-gömbhöz szükség van egy plusz pontra, hogy bezárja a gömböt az Északi-sarkon, úgy a duális számokhoz egy egyenes kell, hogy a duális számok síkjából hengert csináljon.^[6]

Tegyük fel, hogy D az x + y ε alakú duális számok gyűrűje! Legyen ennek U az a részhalmaza, hogy x ≠ 0, ez az egységek csoportja D-ben. Legyen B = {(a,b) ∈ D x D : a ∈ U vagy b ∈ U}. Definiáljuk a ~ relációt a következőképpen: Legyen (a,b) ~ (c,d), ha van u ∈ U, hogy ua=c és ub=d. Ez egy ekvivalenciareláció, és osztályai éppen a duális számok fölötti projektív egyenes pontjai: P(D) = B/ ~.

Tekintsük most a D → P(D) beágyazást, ahol 'z → U(z,1), és U(z,1) a (z,1) ekvivalenciaosztálya! Ekkor az U(1,n), n² = 0 pontok P(D)-beliek, de nem képei a beágyazásnak. Most P(D)-t arra a hengerre vetítjük, ami a {y ε: y ∈ ℝ}, ε² = 0 egyenesben érinti a síkot. Az átellenes egyenest egy síksor tengelyeként kezeljük. Amely síkok metszik a duális számok síkját és a hengert, azok megfeleltetést adnak a két metszésvonal pontjai között. A duális számok síkjával párhuzamos sík a duális számok síkjának U(1,n), n² = 0 pontjainak felel meg a duális számok fölötti projektív egyenesen.

Általánosítás

A duális számok megfelelői bármely kommutatív gyűrű fölött definiálhatók, mint az R[X] polinomgyűrű és az (X²) ideál hányadosa. Ekkor az X ez ε szerepét tölti be. Ezek a gyűrűk fontos szerepet töltenek be a deriválás algebrai elméletében és a tisztán algebrai differenciálformák, a Kähler-differenciálok elméletében.

Gyűrű fölött az a + bε duális elem egység, azaz invertálható akkor és csak akkor, ha a is egység az eredeti gyűrűben. Ekkor a + bε inverze a⁻¹ − ba⁻²ε. Emiatt test vagy kommutatív lokális gyűrű fölött a duális elemek lokális gyűrűt alkotnak; maximális ideálja az ε által generált főideál.

Egy másik, szűkebb lehetőség az általánosításra n, egymással antikommutáló generátor bevezetése. Ezek a Grassmann-számok.

Alkalmazások

A fizikában a duális számok jelentik a legegyszerűbb szuperteret. Ekvivalensen, egygenerátoros szuperszámok, ahol is szuperszámokon a Grassmann-számokat értik, de ahol n végtelen is lehet. A szuperterek ezt általánosítják tovább, megengedve felcserélhető generátorokat is.

A duális számok bevezetése a fizikába a Pauli-féle kizárási elven múlik, mivel a fermionok összes kvantumszáma nem egyezhet meg, nem lehetnek ugyanabban az állapotban egy atomban vagy molekulában. Az ε szerinti irány a fermion, az 1 iránya a bozon irány. Ha a koordinátákat felcseréljük, akkor a kvantummechanikai hullámfüggvény előjelet vált, emiatt ha a két koordináta egyenlő, akkor nulla. A kizárási elv abban is kifejeződik, hogy ε² = 0.

Jegyzetek

Források

• Bencivenga, Ulderico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo", Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. MR0021123.
• William Kingdon Clifford (1873) Preliminary Sketch of Bi-quaternions, Proceedings of the London Mathematical Society 4:381–95
• Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118–29.
• William Miller & Rochelle Boehning (1968) "Gaussian, Parabolic and Hyperbolic Numbers", The Mathematics Teacher 61(4): 377–82.
• Eduard Study (1903) Geometrie der Dynamen, page 196, from Cornell Historical Mathematical Monographs at Cornell University.
• Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, pp 12–18, Academic Press.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dual number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.