Elektromágneses négyespotenciál

Az elektromágneses négyespotenciál egy relativisztikus vektorfüggvény, amelyből az elektromágneses mező levezethető. Az elektromos skalárpotenciál és mágneses vektorpotenciál kombinációjából adódik.[1]

Egy adott vonatkoztatási rendszerben mérve és egy adott mértékegységrendszerben az elektromágneses négyespotenciál első komponensét szokásosan az elektromos skalárpotenciálnak tekintjük, a másik három komponens pedig a mágneses vektorpotenciált alkotja. Míg mind a skaláris, mind a vektorpotenciál függ a vonatkoztatási rendszertől, az elektromágneses négyespotenciál Lorentz-invariáns.

Más potenciálokhoz hasonlóan sokféle elektromágneses négyespotenciál felel meg ugyanarra az elektromágneses mezőnek, a mérték kiválasztásától függően.

Ez a cikk a tenzor indexes jelölését és a Minkowski-metrikus előjel-konvenciót használja (+ − − −) . A képletek SI-egységekben és gaussi CGS-egységekben is meg vannak adva.

Meghatározás

Az elektromágneses négyespotenciál a következőképpen határozható meg:[2]

SI-egységek Gaussi egységek
A α = ( ϕ / c , A ) {\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,\!} A α = ( ϕ , A ) {\displaystyle A^{\alpha }=(\phi ,\mathbf {A} )}

amelyben ϕ az elektromos skalárpotenciál és A a mágneses vektorpotenciál. Az A α egységei V · s · m −1 SI-ben, Mx · cm −1 CGS-ben.

A négyespotenciálhoz kapcsolódó elektromos és mágneses mezők a következők:[3]

SI-egységek Gaussi egységek
E = − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t {\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}} E = − ∇ ϕ − 1 c ∂ A ∂ t {\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} } B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }

A speciális relativitáselméletben az elektromos és mágneses mezők Lorentz-transzformációk alatt átalakulnak. Az elektromágneses tenzor:

F μ ν = ∂ ν A μ − ∂ μ A ν = [ 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ] {\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}

Lorenz-mértékben

Gyakran ∂ α A α = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0} , ezzel a Maxwell-egyenletek egyszerűsödnek:[2]

SI-egységek Gaussi egységek
◻ A α = μ 0 J α {\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }} ◻ A α = 4 π c J α {\displaystyle \Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }}

ahol J α a komponensek a négyesáram, és a

◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}

a D’Alembert-i operátor. A skalár- és vektorpotenciálokat tekintve az utolsó egyenlet így alakul:

SI-egységek Gaussi egységek
◻ ϕ = ρ ϵ 0 {\displaystyle \Box \phi ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}} ◻ ϕ = 4 π ρ {\displaystyle \Box \phi =4\pi \rho }
◻ A = μ 0 j {\displaystyle \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} } ◻ A = 4 π c j {\displaystyle \Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} }

Egy adott töltés- és árameloszlás ρ(r, t) és j(r, t) esetén az egyenletek megoldása SI-egységekben:[3]

ϕ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ d 3 x ′ ρ ( r ′ , t r ) | r − r ′ | {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime },t_{r})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}}
A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ d 3 x ′ j ( r ′ , t r ) | r − r ′ | , {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ^{\prime },t_{r})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},}

ahol

t r = t − | r − r ′ | c {\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}

a késleltetett idő.

Kapcsolódó szócikk

Hivatkozások

  1. ↑ Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
  2. ↑ a b D.J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics, 3rd, Pearson Education, Dorling Kindersley (2007). ISBN 978-81-7758-293-2 
  3. ↑ a b I.S. Grant, W.R. Phillips. Electromagnetism, 2nd, Manchester Physics, John Wiley & Sons (2008). ISBN 978-0-471-92712-9 
  • Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press (1991). ISBN 0-19-853952-5 
  • Jackson, J D. Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley (1999). ISBN 0-471-30932-X 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Electromagnetic four-potential című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.