Euklideszi tér (lineáris algebra)
| Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! (2007 júniusából) |
A „Tér” lehetséges további jelentéseiről lásd: Tér (egyértelműsítő lap). |
Euklideszi térnek[* 1] nevezzük azon T számtest vagy integritási tartomány feletti vektortereket, melyekben a vektorterek axiómáin felül értelmezve van a skaláris szorzat (euklideszi norma).
Euklideszi tér axiómái
- A skaláris szorzat a V-beli rendezett párokhoz egy, T-beli elemet rendelő függvény, vagyis
- A skaláris szorzat részben kommutatív, vagyis
- ,
- ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelöli. (Természetesen a valós esetben kommutatív).
- A skalárszoros (skalár az alkotó testből, vagy int. tart.-ból) „elölről” kiemelhető, vagyis:
- Összeg elölről „szétszedhető”, vagyis:
Tételek
Több kérdés is felmerülhet a definíciókkal kapcsolatban, először is az, hogy miért kellett a konjugálást bevezetni, elvetve így a kommutativitást, valamint, hogy miért pont hátulról kiemelhetők a tagok, és mi a helyzet az elöl lévő skalárszorzóval, és összeggel? Utóbbi két kérdést két egyszerű tétellel azonnal meg lehet válaszolni:
TÉTEL:
Bizonyítás: Egyszerűen az axiómákból, csak „hátulra kell varázsolni a skalárszorost” a részleges kommutativitást kihasználva, így jön be a képbe a konjugált, formálisan:
(2. axióma) (3. axióma) (komplex konjugálás szorzattartó)
(2. axióma) QED
TÉTEL:
Bizonyítás: Teljesen hasonlóan az előzőhöz, vegyük észre, hogy ha felcseréljük a tagokat (természetesen konjugálással együtt), akkor a 4. axiómát alkalmazva kapjuk a kívánt képletet. QED
Az euklideszi norma
Minden euklideszi térben bevezethető valamilyen, „hosszúságszerű” fogalom. Ezt fogjuk euklideszi normának hívni, definíciója a következő: Az euklideszi norma egy, V-ből T-be képező, nemnegatív értékeket felvevő függvény, amelyre (jelöléssel együtt):
- :=
Hajlásszög euklideszi terekben
A norma és skalárszorzat segítségével már definiálható két vektor hajlásszöge, melyen síkvektoroknál a nem nagyobb szöget értettük. A hajlásszög azon érték, melyet a cos függvény a helyen felvesz, vagyis ennek az arkusz koszinusza. A definíció jogosságához be kéne látni, hogy ez az érték mindig a [-1;1] intervallumba esik, de ez azonnal következik a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenségből. (Vagyis a számláló abszolút értéke mindig kisebb vagy egyenlő, mint a nevezőé.) A hajlásszög definíciójával már definiálni lehet az egymásra ortogonális, merőleges vektorokat is.
Ortogonális, ortonormált bázis
Két vektor egymásra merőleges, ortogonális, ha skaláris szorzatuk 0. Könnyen meggondolható, hogy a szokásos sík- és térvektorok esetén ez pont akkor teljesül, ha egymással bezárt szögük , vagyis a „derékszög”, hiszen ennek a koszinusza 0, így a skaláris szorzat is 0 lesz.
A következő tételhez még egy definíció kell, a normált vektoré. Egy vektor normált, ha normája az alkotó számtest (szorzás szerinti) egységeleme.
Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció: Minden euklideszi térben létezik ortonormált bázis, vagyis olyan bázis, melynek minden vektora páronként merőleges, normájuk pedig az egységelem.
Megjegyzések
- ↑ A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi tér, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).
Hivatkozások
Források
- Dr. Szalay Mihály, Lineáris algebra előadás, ELTE-TTK/IK, (az elméleti háttér)
- Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap