Felhajtóerő (hidrosztatika)

A nyugvó folyadék és gáz a benne lévő testre felfelé irányuló erővel hat. Ezt az erőt felhajtóerőnek nevezzük.

A felhajtóerő függ

• a test folyadékba bemerülő részének térfogatától;
• a folyadék sűrűségétől.

A felhajtóerő nagysága nem függ a test anyagától. Megállapítható, hogy a felhajtóerő nem csak a folyadékba, hanem a gázba merülő testre is hat.

Arkhimédész törvénye

Bővebben: Arkhimédész törvénye

Minden folyadékba vagy gázba merülő testre felhajtóerő hat. A felhajtóerő egyenlő nagyságú a test által kiszorított folyadék vagy gáz súlyával. Ez Arkhimédész törvénye.

A felhajtóerő nagyságát a kiszorított folyadék térfogatának és sűrűségének ismeretében ki is számolhatjuk. A felhajtóerő a hidrosztatikai nyomásból származtatható.

A felhajtóerő meghatározható úgy, hogy kiszámítjuk a kiszorított folyadék tömegét és abból következtetünk a kiszorított folyadék súlyára, illetve a felhajtóerőre.

Arkhimédész törvényét az alábbi gondolatkísérlettel lehet igazolni: Vegyünk egy tetszőleges szabályos vagy szabálytalan alakú szilárd testet. Nyugalomban lévő folyadékban gondolatban jelöljünk ki egy olyan zárt felületet, mely megegyezik a szilárd test felületével (tehát a test és a folyadékrész térfogata egyenlő). Erre a folyadékrészre a súlya hat, mely feltételünk szerint egyensúlyban van a környezetével. Ha a folyadékrészt helyettesítjük a szilárd testtel, a megmaradt folyadék ugyanolyan erővel hat a felületére, mint az előzőekben, tehát a felhajtóerő a test térfogatával egyenlő térfogatú folyadék súlyával egyezik meg, a felhajtóerő támadási pontja pedig a folyadékrész tömegközéppontjában lesz.

Úszás

Vegyünk egy ${\displaystyle \rho _{f}\,}$ sűrűségű folyadékba merülő, ${\displaystyle V\,}$ térfogatú, ${\displaystyle \rho \,}$ sűrűségű testet. A test súlya: ${\displaystyle G_{test}=\rho Vg\,}$. Arkhimédész törvénye miatt rá ${\displaystyle F_{felh.}=G_{f}=\rho _{f}V^{\prime }g}$ nagyságú felhajtóerő hat. (${\displaystyle G_{f}}$ a folyadék felhajtóereje, ${\displaystyle V^{\prime }}$ a test térfogatának folyadékba merülő része.) A test akkor van egyensúlyban, ha a két erő kiegyenlíti egymást, ${\displaystyle G_{test}=F_{felh.}\,}$. Ekkor a test a folyadék felszínén lebeg. Ha a felhajtóerő nagyobb, mint a test súlya, akkor a test emelkedik, ha kisebb, akkor a test süllyed.

Az egyensúlynak azonban nemcsak az a feltétele, hogy az úszó test súlya megegyezzék a felhajtóerővel, hanem az is, hogy a két erő egy függőlegesbe essék. Ha ugyanis ez nem áll fenn, a testre nyomaték hat, melynek nagysága, ha a két erő támadáspontját összekötő egyenes szakasz vízszintes vetülete ${\displaystyle \Delta y\,}$:

${\displaystyle M=G_{test}\Delta y\,.}$

A víz felszínén úszó testek esetén a folyadék felszínének neve: úszósík. A testnek az úszósíkban lévő szelvénye az úszófelület vagy vízvonalfelület, az úszófelületet határoló síkidom a vízvonal. Megjegyzendő, hogy az említett jellemzők függenek a hajó alakján és önsúlyán kívül a tehertől, sőt attól is, hogy a hajó édesvízbe vagy tengervízbe merül.

A felhajtóerő és a hidrosztatikai nyomás

Egy ${\displaystyle \rho }$ sűrűségű folyadékban, ${\displaystyle h}$ mélységben a hidrosztatikai nyomás értéke:

${\displaystyle p=\rho \cdot g\cdot h\,,}$

ahol ${\displaystyle g}$ a földi nehézségi gyorsulás.

A folyadékba helyezett testre tehát a test különböző mélységben lévő pontjainál különbözik a hidrosztatikai nyomás nagysága. Ahogy az ábráról is látszik, a nyomáskülönbségből származó erő felfelé hat. Az erők különbségének kifejezésében a kiszorított folyadék sűrűsége (${\displaystyle \rho }$), test magassága (${\displaystyle h}$), és alapterülete ${\displaystyle A}$ szerepel.

A magasság és az alapterület szorzata megegyezik a test térfogatával: ${\displaystyle V=h\cdot A}$.

A felhajtóerő nagysága ezért a kiszorított folyadék súlyával egyenlő:

${\displaystyle F_{f}=\rho \cdot g\cdot h\cdot A=\rho \cdot g\cdot V\,.}$

A felhajtóerő tehát abból származik, hogy a folyadékban a hidrosztatikai nyomás függ a mélységtől.

Stabilitás

Az úszó test egyensúlyához a fentiek szerint a felhajtóerő és a test súlyának egyenlősége és az kell, hogy a két erő támadáspontja egy egyenesbe essen. Ha az úszó testet egy forgatónyomaték kitéríti (például oldalirányú szél a vitorlás hajót), akkor az új helyzetbe került test felhajtóereje és súlya nem esik egy egyenesbe, az ebből származó nyomaték egyensúlyt tart a kitérítő nyomatékkal. Az úszási tengely és a felhajtóerőnek a kitérített helyzetbeni egyenesének metszéspontja a metacentrum. A test egyensúlyi helyzete akkor stabil, ha a metacentrum a test tömegközéppontja felett helyezkedik el. Ha a két pont egybeesik, az egyensúly közömbös (például üres ledugózott palack esetében), ha a metacentrum a tömegközéppont alatt helyezkedik el, az egyensúly labilis, a legkisebb kitérítésre a test felfordul.

A tömegközéppont és a metacentrum távolsága a metacentrikus magasság a stabilitásra jellemző szám. A metacentrikus magasság nem állandó érték, a kitérés szögétől függően változik. A kezdeti metacentrikus magasság, vagyis kis kitérésekre az alábbi képlettel számítható:

${\displaystyle h_{m}={\frac {I_{0}}{V}}-e\,,}$

ahol

• ${\displaystyle h_{m}\,}$ a metacentrikus magasság,
• ${\displaystyle I_{0}\,}$ az úszófelület másodrendű nyomatéka az elfordulás y tengelyére, az úszófelület, az úszó test és a folyadékfelszín metszéséből származó síkidom,
• ${\displaystyle V\,}$ a kiszorított folyadéktérfogat,
• ${\displaystyle e\,}$ a test tömegközéppontja és a kiszorított folyadéktérfogat tömegközéppontja közötti távolság nyomatékmentes helyzetben.

A metacentrikus magasság szokásos értékei különböző hajóknál

Hajófajta	Metacentrikus magasság hm [m]
Teherhajók	0,6…0,9
Személyszállító hajók	0,45..0,6
Vitorlás hajók	0,9…1,5
Hadihajók	0,75..1,3

Kezdeti metacentrikus magasság levezetése

Kis Δφ szögelfordulásnál igaz, hogy

${\displaystyle \Delta \phi \approx \sin \Delta \phi \approx \mathrm {tg} \Delta \phi \,}$ és

${\displaystyle \cos \Delta \phi \approx 1\,.}$

A kibillent helyzetben az ábrák szerint egy dx vastagságú réteg kiszorított víztérfogata úgy változik, hogy jobboldalt a kék háromoldalú hasábbal megnő, bal oldalon pedig a zöld háromoldalú hasábbal csökken. A felhajtóerő abszolút értéke változatlan marad (kis kitérések esetén a két háromoldalú hasáb térfogata azonos), de támadáspontja jobbra tolódik és hatásvonala az úszási tengelyt az M metacentrumban metszi.

A dx vastagságú réteget eredeti helyzetébe visszaállítani akaró nyomaték:

${\displaystyle dM=2g\rho {\frac {y^{2}\Delta \phi }{2}}{\frac {2}{3}}ydx\,,}$

az egész hajó nyomatéka pedig:

${\displaystyle M=2g\rho \Delta \phi {\frac {2}{3}}\int y^{3}dx\,.}$

Ezzel a nyomatékkal a teljes V térfogat felhajtóerejének nyomatéka egyenlő:

${\displaystyle M=\Delta yVg\rho \,}$

és így írható:

${\displaystyle \Delta y=\Delta \phi {\frac {{\frac {2}{3}}\int y^{3}dx}{V}}\,.}$

A fenti kifejezés számlálója nem más, mint az úszófelület másodrendű nyomatéka az x tengelyre:

${\displaystyle I_{0}=\int _{0}^{l}{\frac {1}{12}}(2y)^{3}dx={\frac {2}{3}}\int _{0}^{l}y^{3}dx\,,}$

${\displaystyle \Delta y=(e+h_{m})\Delta \phi \,}$

így

${\displaystyle h_{m}={\frac {I_{0}}{V}}-e\,.}$

További információk

• Letölthető interaktív flash szimuláció a felhajtóerő tanulmányozásához magyarul. Elérés: magyarázó oldalon át vagy közvetlenül a PhET-től
• Letölthető interaktív flash szimuláció a folyadékba merülő testek sűrűségének tanulmányozásához a PhET-től magyarul

Források

• Pattantyús: Gépész- és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• Dr. Gruber József-Blahó Miklós: Folyadékok mechanikája. Hatodik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
• Willi Bohl: Műszaki áramlástan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1983. ISBN 9631044831