Injektív leképezés

Egy injektív függvény
Egy másik injektív függvény, ami ráképezés is
Egy nem-injektív függvény

A matematikában injekciónak, injektív leképezésnek, egy-egy értelmű leképezésnek vagy kölcsönösen egyértelmű leképezésnek nevezzük azokat a függvényeket, melyek az értelmezési tartomány különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. (Nem tévesztendő össze a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéssel, mely a bijektív függvény.)

Definíció

Legyen A , B {\displaystyle A,B} tetszőleges halmazok és f : A → B {\displaystyle f:A\to B} képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy f {\displaystyle f} injekció, ha

  • tetszőleges a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} és f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} esetén a = b {\displaystyle a=b} .

Példák

  • Az egész számok halmazán értelmezett f : Z → Z , a ↦ 2 a {\displaystyle f:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} ,a\mapsto 2a} függvény injekció.
  • A természetes számok halmazán értelmezett f : N → N , a ↦ a + 1 {\displaystyle f:\mathbf {N} \to \mathbf {N} ,a\mapsto a+1} függvény injekció.
  • Az egész számok halmazán értelmezett f : Z → Z , a ↦ a + 1 {\displaystyle f:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} ,a\mapsto a+1} függvény injekció.
  • Tetszőleges X {\displaystyle X} halmazra az i d : X → X , x ↦ x {\displaystyle id:X\to X,x\mapsto x} identikus megfeleltetés injektív leképezés.

(Az utolsó két példa, mivel nem csak injekció, hanem egyúttal szürjekció is, ezért bijekció. Az első két példa nem szürjekció.)

Ellenpéldák

  • A valós számok halmazán értelmezett g : R → R , g ( x ) = x n − x {\displaystyle g:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,g(x)=x^{n}-x} függvény nem injekció, ugyanis , például, g ( 0 ) = g ( 1 ) {\displaystyle g(0)=g(1)} .

Az injekció megfordítható

Egy másik definíció az injekcióra az, hogy olyan leképezés, melynek a megfeleltetésként (relációként) vett inverze szintén függvény, bár az így kapott új függvény értelmezési tartománya az eredeti függvény képhalmazának csak egy részhalmaza. (Csak akkor egyezik meg vele, ha a kérdéses függvény egyúttal szürjekció, és ezáltal így bijekció is).

Lásd még

Hivatkozások

  • Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

További információk

  • Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik