Koszinusztétel

Jelölések

A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}

vagy másként:

cos ⁡ γ = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}

Bizonyítások

Háromszögekre bontással

A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.

Koszinusztétel bizonyítása

Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:

c 2 {\displaystyle c^{2}\,} = ( b − a cos ⁡ ( γ ) ) 2 + ( a sin ⁡ ( γ ) ) 2 {\displaystyle =(b-a\cos(\gamma ))^{2}+(a\sin(\gamma ))^{2}\,}
= b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) + a 2 ( cos 2 ⁡ ( γ ) + sin 2 ⁡ ( γ ) ) {\displaystyle =b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}(\cos ^{2}(\gamma )+\sin ^{2}(\gamma ))\,}
= a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) , {\displaystyle =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,}

felhasználva a cos 2 ⁡ ( γ ) + sin 2 ⁡ ( γ ) = 1 {\displaystyle \cos ^{2}(\gamma )+\sin ^{2}(\gamma )=1\,} trigonometriai azonosságot. QED

Megjegyzés

Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha b < a cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle b<a\cos(\gamma )} . Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy b − a cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle b-a\cos(\gamma )} helyett a cos ⁡ ( γ ) − b {\displaystyle a\cos(\gamma )-b} szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.

Vektorok segítségével

Az A B C {\displaystyle ABC} háromszög adott. C {\displaystyle C} -ből indítsuk a helyvektorokat. A {\displaystyle A} -ba mutató vektor legyen a {\displaystyle a} . B {\displaystyle B} -be mutató vektor legyen b {\displaystyle b} . Az a {\displaystyle a} és b {\displaystyle b} vektorok hajlásszöge legyen γ {\displaystyle \gamma } .

Ekkor c = a − b {\displaystyle c=a-b} ⇒ c 2 = ( a − b ) 2 {\displaystyle c^{2}=(a-b)^{2}} ⇔ | c | 2 = | a | 2 + | b | 2 − 2 | a | | b | cos ⁡ γ {\displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a||b|\cos \gamma } . (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED

Koordinátarendszerben

Koszinusztétel bizonyítása koordináta-rendszerben

Helyezzük el az A B C △ {\displaystyle ABC\triangle } -et derékszögű Koordináta-rendszerben úgy, hogy a C {\displaystyle C} csúcs az origóba essen, és a B {\displaystyle B} csúcs az x tengelyre kerüljön. A háromszögben legyen adott C A = b , C B = a {\displaystyle CA=b,\,CB=a} oldal és a B C A ∠ = γ {\displaystyle BCA\angle =\gamma } szög, így a B {\displaystyle B} csúcs koordinátái B ( b , 0 ) {\displaystyle B(b,0)} . Ekkor az A {\displaystyle A} csúcs koordinátái A ( b cos ⁡ γ ; b sin ⁡ γ ) {\displaystyle A(b\cos \gamma ;b\sin \gamma )} .[* 1] Az A B = c {\displaystyle AB=c} oldal hosszúságára a Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk:

c 2 = ( b − a cos ⁡ γ ) 2 + ( 0 − a sin ⁡ γ ) 2 c 2 = b 2 + a 2 cos 2 ⁡ γ − 2 a b cos ⁡ γ + a sin 2 ⁡ γ c 2 = b 2 + a 2 ( cos 2 ⁡ γ + sin 2 ⁡ γ ) ⏟ = 1 − 2 a b cos ⁡ γ c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=\left(b-a\cos \gamma \right)^{2}+\left(0-a\sin \gamma \right)^{2}\\c^{2}&=b^{2}+a^{2}\cos ^{2}\gamma -2ab\cos \gamma +a\sin ^{2}\gamma \\c^{2}&=b^{2}+a^{2}\underbrace {\left(\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma \right)} _{=1}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}

QED

Megjegyzés

A bizonyítás során nem kellett figyelembe venni a két oldal által bezárt szög típusát, ezért bármilyen háromszögre általánosan igaz. Emellett minimalista abban a tekintetben, hogy a lehető legkevesebb előfeltétellel él (pont koordinátái, Pitagorasz tétele).

Alkalmazások

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).

Megjegyzések

  1. ↑ Ezt akár a polárkoordinátákból, akár az A pont vetületeiből ki tudjuk deríteni.

Források

  • Weisstein, Eric W.: Koszinusztétel (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Kapcsolódó szócikkek

  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap