Parabola (görbe)

Ez a szócikk a matematikai fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: Parabola (egyértelműsítő lap).

A parabola (a görög παραβολή-ből) egy kúpszelet, amit úgy kaphatunk, ha a körkúp-felületet egy, a kúp alkotójával párhuzamos síkkal metsszük. Másik definíciója szerint a síkban egy adott ponttól (fókuszpont vagy gyújtópont) és egy, ezen a ponton át nem menő egyenestől (direktrix, vezéregyenes) egyenlő távolságra levő pontok mértani helye.

Különleges eset az, amikor a metszősík a kúpfelület érintősíkja. Ebben az esetben a parabola metszésvonal egyenessé fajul.

Definíciók és áttekintés

A parabola egyenletei

Descartes-féle koordináta-rendszerben egy, az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolának egyenlete, melynek csúcsa (h, k), fókuszpontja (h, k + p) és direktrixe y = k – p, ahol p a fókusz távolsága a csúcstól:

${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,}$

vagy:

${\displaystyle (y-k)={\frac {1}{4p}}(x-h)^{2}\,}$

Általánosabban: a parabola olyan görbe, mely a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben az alábbi alakú egyenlettel definiálható:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

ahol ${\displaystyle B^{2}=4AC\,}$, az összes együttható valós, A és C nem zéró, és ahol több, mint egy megoldás, mely egy (x, y) pontpárt definiál a parabolán, létezik. Az egyenlet nem redukálható, ez azt jelenti, hogy az egyenlet nem szorzata két szükségszerűen független lineáris tényezőnek.

Más geometriai definíciók

A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy az egy olyan kúpszelet, melynek excentricitása 1. Ennek következményeképpen minden parabola hasonló egymáshoz. A parabola úgy is meghatározható, hogy azoknak az ellipsziseknek a határesete, melyeknek egyik fókuszpontja rögzített, a másik fókuszt pedig tetszőleges távolságba mozdítjuk el. Ebben az értelemben parabola ellipszisként fogható fel, melynek egyik fókusza a végtelenben van. A parabola a kardioid inverz transzformáltja.

A parabolának egyetlen tükörtengelye van, mely a fókuszán halad át és merőleges a direktrixére. A parabola és tengelye metszéspontját a parabola csúcsának nevezik. Ha a parabolát megforgatjuk tengelye körül, a súrolt felület a forgási paraboloid.

Egyenletek

Az egyenletekben szereplő jelölések: (h, k) a parabola csúcspontja, p a csúcspont és a fókuszpont közötti távolság (ha a csúcspont a fókusz alatt van vagy, ami ugyanezt jelenti, a direktrix felett, akkor p pozitív egyébként p negatív, hasonlóan vízszintes parabola-tengely esetén p pozitív, ha a csúcspont balra van a fókusztól, vagy ami ugyanazt jelenti, jobbra a direktrixtől.

Descartes-féle koordináta-rendszer

Függőleges szimmetria-tengely

${\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,}$

${\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k\,}$

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

${\displaystyle {\mbox{ahol }}a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;\ \ }$

${\displaystyle h={\frac {-b}{2a}};\ \ k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}$.

Paraméteres egyenletek:

${\displaystyle x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2}+k\,}$

Vízszintes szimmetria-tengely

${\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}$

${\displaystyle x=a(y-k)^{2}+h\,}$

${\displaystyle x=ay^{2}+by+c\,}$

${\displaystyle {\mbox{ahol }}a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;\ \ }$

${\displaystyle h={\frac {4ac-b^{2}}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}}$.

Paraméteres egyenletek:

${\displaystyle x(t)=pt^{2}+h;\ \ y(t)=2pt+k\,}$

Általános parabola

Általános egyenlet olyan parabolának melynek fókuszpontja F(u, v), és vezéregyenesének egyenlete

${\displaystyle n_{1}x+n_{2}y+c=0\,}$

az

${\displaystyle {\frac {\left|n_{1}x+n_{2}y+c\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}}}}={\sqrt {\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}}}\,}$

Semi-latus rectum és polárkoordináták

Polárkoordináták esetén, ha a parabola fókusza az origóban van, és a csúcsa a negatív x-tengelyen helyezkedik el, az egyenlet:

${\displaystyle r(1-\cos \theta )=l\,}$

ahol l a semi-latus rectum: a távolság a fókuszponttól a paraboláig a tengelyre merőleges egyenesen mérve.

A parabola ívhossza

A parabola ívhossza az O csúcsponttól az M pontig a következő (p a parabola paramétere):

${\displaystyle OM={\sqrt {x\left({x+{\frac {p}{2}}}\right)}}+{\frac {p}{2}}{\rm {arsh}}{\sqrt {\frac {2x}{p}}}}$

${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ kis értékeire érvényes a következő közelítő formula:

${\displaystyle OM\approx y\left[{1+{\frac {2}{3}}\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}-{\frac {2}{5}}\left({\frac {x}{y}}\right)^{4}}\right]}$

Parabolatükör

Ha forgási paraboloid alakú tükör fókuszába fényforrást helyezünk, a teljes felület a fénysugarakat a tengellyel párhuzamos nyalábban fogja visszatükrözni. Ezt a tulajdonságát használják fényszórók készítésére. Fordítva, ha gyakorlatilag párhuzamos fénynyaláb a tengellyel egy irányban vetődik a parabola alakú tükör felületére, a visszavert sugarak a fókuszban találkoznak. Ha elég nagy a parabola tükör felülete, a Nap összegyűjtött sugarai képesek meggyújtani a fókuszba helyezett gyúlékony anyagot, ezért is hívják a fókuszt gyújtópontnak. A parabolatükröknek ezt a tulajdonságait napkemencék és napkazánok építésénél hasznosítják.

A mikrohullámú jelátvitel-technológiában is előszeretettel alkalmazzák, mivel egy fémből készült parabolatükör a viszonylag gyenge jelet a fókuszpontba összegyűjtve, a pontosan oda helyezett vevőfej számára megfelelő jelszintet tud produkálni. A parabolaantennák működnek oda-vissza is, azaz az irányított jelkisugárzás a fókuszpontban elhelyezett adóval lehetséges. Az igen elterjedt műholdas televíziózás során többnyire az úgynevezett offset parabola antennákat használják, csak vételre alkalmas fejjel. Ezeket az antennákat egy parabola-forgástest aszimmetrikus metszetéből formálják és nagy előnyük a prímfókuszos antennákkal szemben, hogy a vevőfej így nem árnyékolja az antenna hasznos felületét (nem középen van) és többnyire nem a Föld felé áll, elkerülve ezzel az onnan érkező zavaró jeleket. Ráadásul az antennatányér így laposabb és kisebb lehet, ami a légellenállás szempontjából fontos. A prímfókuszos antennák feje középen van, így a felerősítése egyszerűbb, de az antennának a jelforrás felé kell néznie. Nagyobb méretek esetében használják, ahol megoldott a megfelelő rögzítés és a nagy antennaátmérő miatt nem probléma a fej árnyéka a hasznos antennaterületen, ilyenek pl.: katonai légvédelmi radarok és csillagászati kutató rádiótávcsövek.

Parabola és a fizika

A parabola nagyon sok fizikai jelenségben megtalálható. A legismertebb, hogy állandó gravitációjú térben történő vízszintes vagy ferde hajításnál a test pályája parabola. (Feltéve, hogy a közegellenállás elhanyagolható.) Ezt a jelenséget Galilei fedezte fel a 17. század elején, amikor kísérleteket végzett golyók lejtőn való legördülésével. A pálya parabola alakját később Isaac Newton az általa felállított mozgásegyenletekből levezetve magyarázta. Kiterjedt test esésekor, például műugró ugrásakor a test bonyolult mozgásokat végezhet, foroghat stb. de a test tömegközéppontja parabolikus pályán mozog. A parabola pálya, mint a legtöbb esetben itt is csak közelítés. A légellenállás torzítja a pálya alakját, de ez kis sebességeknél elhanyagolható. Nagyobb sebességeknél ez az elhanyagolás nem megengedett, a ballisztika más hatásokat is figyelembe vesz.

A kéttestproblémánál például egy kisbolygónak a Nap gravitációs tere következtében fellépő mozgása folyamán is felléphet parabola alakú pálya. Az ilyen parabola alakú pálya speciális eset, és ritkán fordul elő a természetben. A hiperbola vagy ellipszis alakú pályák sokkal gyakoribbak. A parabola alakú pálya az előbbiek határesete.

A parabola közelítést a függőhidak kábeleinek alakjánál is használják. A kifeszített kötél pontos alakja ugyan láncgörbe szerinti, de kis belógások esetén jó közelítést ad a parabolával való helyettesítés is.

Forgási paraboloidok szintén gyakran előfordulnak a fizikában. A legismertebb példa a parabolikus tükör, mely fényt vagy más elektromágneses sugárzást (például rádióhullámokat) a fókuszpontba gyűjt. A parabolikus tükröt i. e. 3. században Arkhimédész találta fel, aki a legenda szerint parabolikus tükröt szerkesztett, hogy megvédje Siracusa városát a római hajóhad támadása ellen úgy, hogy a nap sugarait a római hajók fedélzetére koncentrálta, és így felgyújtotta azokat. A parabolikus tükröt a 17. században távcsövek készítésére is használni kezdték, a nagyobb csillagászati távcsövek ma is tükrös teleszkópok (a lencsének hátrányai vannak a tükörrel szemben). Ma parabolikus antennákat használnak elterjedten a mikrohullámú és a mesterséges holdakkal folytatott távközlésben.

Ha egy lapos, henger alakú tálba folyadékot öntünk, majd a tálat a függőleges tengelye körül egyenletes sebességgel forgatjuk, a folyadék a nehézségi erő és a forgás következtében kialakuló centrifugális erő együttes hatására olyan alakot vesz fel, amelynek a felszíne egy szabályos forgási paraboloid. Ezt az egyszerű jelenséget, folyadékként higanyt használva, nagy csillagászati távcsövek főtükreként is felhasználják. A tükröző felület fókusztávolsága a forgás sebességétől függ – a nagy nagyításhoz csak nagyon lapos görbület kell –, és a vízszintes folyadéktükörhöz irányítható segédtükrökkel juttatják el az égbolt megfigyelendő részletének képét. A módszer igen kényes a mechanikus rezgésekre, viszont elkerülhető vele a szilárd tükrök készítésének, csiszolásának, karbantartásának számos nehézsége, valamint a tükrök hőtágulásából eredő képtorzulás problémája.

Források

• I. N. Bronstejn – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. 6. kiad. Budapest: Műszaki. 1987.  
• Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve, 2. kötet. Budapest: Műszaki. 1961.  
• Vajdasági Ismeretterjesztő és Tudománynépszerűsítő Portál – Varga J. László: Nyomott tányér matematikája

További információk

• Archimedes háromszög
• Parabola két érintője
• Parabolát burkoló egyenesek
• Parabolikus tükör
• Parabola burkolói II