Skalártér
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Skalarfeld.png/250px-Skalarfeld.png)
A fizikában a skalártér, más néven skalármező egy-egy skalármennyiséget rendel a tér minden pontjához (ld. függvény). Ha a skalármennyiség nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár, akkor a teret pszeudoskalártérnek nevezzük. A tér lehet a szokásos euklideszi tér (másképpen hármastér), de Minkowski-tér (a fizikában másképpen ez a négyestér) is. Például minden ponthoz hozzárendelik az ottani hőmérséklet értékét. A skalármezők a vektoranalízisben is fontosak.
Definíció
Ha a φ(P) függvény a tér vagy egy térrész minden pontjához egy számot (skalárt) rendel, akkor φ(P) skalármező. Matematikai szempontból a skalármező értelmezési tartománya vektortér, vagy annak egy része, de a fizikai alkalmazásokban nem foglalkoznak ezzel.
Speciálisan n = 2-re:
Speciálisan n = 3-ra:
Fizikai példák skalártérre
- A klasszikus fizikában a potenciálmezők (például gravitációs potenciál), kivéve az időtől is függő potenciálokat.
- További klasszikus fizikai példák a légnyomás, a hőmérséklet, vagy a sűrűség.
- A kvantumtérelmélet a nulla spinű részecskékhez skalárteret rendel.
- A standard modell Higgs-bozonját skalártér írja le.
Szintfelületek
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/1nuevo.jpg/250px-1nuevo.jpg)
A szintfelületek (nívóhalmazok) azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a skalármező értéke állandó. Síkon () értelmezett skalármező esetén inkább szintvonalakról (nívóvonalakról) beszélnek. A skalármező értelmezési tartományának minden pontján áthalad egy, és csak egy szintfelület. A szintfelületek merőlegesen metszenek minden rajtuk áthaladó felületi görbét.
Példák:
- A meteorológiában az izoterma az azonos hőmérsékletű, az izobár az azonos légnyomású pontokat összekötő görbe.
- A mikroökonómiában egy U hasznossági függvény esetén az azonos hasznosságú jószágkosarakat leíró pontokat összekötő görbét közömbösségi görbéknek hívjuk.
- A térképészetben az azonos tengerszint feletti magasságú pontokat összekötő görbék a szintvonalak.
Operátorok
A skalártérre a következő differenciáloperátorok alkalmazhatók:
- Irány menti derivált
- Gradiens
Integrál
A skalármezőnek felületi integrálja van. Ez az integrál így számítható:
ahol φ a skalármező és S a felület.
Green-formula
A skalármezők a Green-formulában is megjelennek.
S egyszerű zárt felület, kifelé irányított normálvektorral. Jelölje V az S által körülzárt térrészt, és legyenek a φ, ψ vektormezők kétszer folytonosan differenciálhatók! Ekkor
ahol a Laplace-operátor.
Más típusú terek
- vektormező (és axiálvektor-mező)
- tenzormező (és pszeudotenzor-mező)
Források
![Commons:Category:Scalar fields](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/50px-Commons-logo.svg.png)
- BME[halott link]
- PPKE[halott link]
Matematikaportál
Fizikaportál