Taylor-tétel

A kalkulusban a Taylor-tétel egy módszert ad arra miként lehet közelítést adni egy n-ed fokú polinommal bármely függvényre egy tetszőlegesen kiválasztott "a" kezdőpontból kiindulva. A kezdőponttól távolodva a közelítés egyre pontatlanabb lesz, a pontatlanság mértékére egy R maradéktagból következtethetünk.

Taylor tétel egyváltozós valós értékekre

Ha az ${\displaystyle {f}}$függvény "${\displaystyle {n}}$"-szer differenciálható az "${\displaystyle {a}}$" pontban" akkor:

${\displaystyle {{f}_{\left(x\right)}}={{f}_{\left(a\right)}}+\left(x-a\right)\cdot f_{\left(a\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(a\right)}^{n'}+R}$

Az ${\displaystyle {R}}$ maradék egzakt "Integrál" alakja: ${\displaystyle R=\int \limits _{a}^{x}{{\frac {{{\left(x-y\right)}^{n}}\cdot f_{\left(y\right)}^{\left(n+1\right)'}}{n!}}dy}}$

a maradék középértékes "Lagrange" féle alakja: ${\displaystyle R={\frac {{\left(x-a\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}$ ahol "${\displaystyle {c}}$" az (${\displaystyle {a}}$,${\displaystyle {x}}$) intervallumon belül van valahol.

a maradék középértékes "Cauchy" féle alakja: ${\displaystyle R={\frac {{{\left(x-c\right)}^{n}}\cdot \left(x-a\right)}{n!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}$, ahol "${\displaystyle {c}}$" az (${\displaystyle {a}}$,${\displaystyle {x}}$) intervallumon belül van valahol.

Bizonyítás

Legyen az F függvény meghatározva így: ${\displaystyle {{F}_{\left(y\right)}}={{f}_{\left(y\right)}}+\left(x-y\right)\cdot f_{\left(y\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n'}}$

A függvény "a" és "x" pontbeli értékeiből adódik: ${\displaystyle {{f}_{\left(x\right)}}={{f}_{\left(a\right)}}+\left(x-a\right)\cdot f_{\left(a\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(a\right)}^{n'}+\left({{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}\right)}$

A függvény deriváltjaként ${\displaystyle F_{\left(y\right)}^{'}=\left[{\cancel {f_{\left(y\right)}^{'}}}\right]+\left[{\cancel {-1\cdot f_{\left(y\right)}^{'}}}+{\cancel {\left(x-y\right)\cdot f_{\left(y\right)}^{''}}}\right]+...+\left[{\cancel {-{\frac {{\left(x-y\right)}^{n-1}}{\left(n-1\right)!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n'}}}+{\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n+1'}\right]}$

egyszerúsítés után egy rövidebb formát kapunk: ${\displaystyle F_{\left(y\right)}^{'}={\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n+1'}}$

vagyis F kifejezhető a következő határozatlan integrállal is: ${\displaystyle {{F}_{\left(y\right)}}=\int {{\frac {{{\left(x-y\right)}^{n}}\cdot f_{\left(y\right)}^{\left(n+1\right)'}}{n!}}dy}}$

amit a fentiekbe behelyettesítve: kapjuk a Taylor tétel Integtrál alakját:

${\displaystyle {{f}_{\left(x\right)}}={{f}_{\left(a\right)}}+\left(x-a\right)\cdot f_{\left(a\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(a\right)}^{n'}+\int \limits _{a}^{x}{{\frac {{{\left(x-y\right)}^{n}}\cdot f_{\left(y\right)}^{\left(n+1\right)'}}{n!}}dy}}$

Lagrange féle maradék

A Cauchy-féle középértéktételt ${\displaystyle {{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left({{G}_{\left(x\right)}}-{{G}_{\left(a\right)}}\right)\cdot {\frac {F_{\left(c\right)}^{'}}{G_{\left(c\right)}^{'}}}}$alkalmazva az ${\displaystyle {{F}_{\left(y\right)}}}$ és ${\displaystyle {{G}_{\left(y\right)}}={{\left(x-y\right)}^{n+1}}}$ függvényekre :

${\displaystyle R={{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left(0-{{\left(x-a\right)}^{n+1}}\right)\cdot {\frac {{\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}{-\left(n+1\right)\cdot {{\left(x-c\right)}^{n}}}}={\frac {{\left(x-a\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}$

kapjuk a Lagrange féle maradékot: ${\displaystyle R={\frac {{\left(x-a\right)}^{n+1}}{\left(n+1\right)!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}$ahol "${\displaystyle {c}}$" az (${\displaystyle {a}}$,${\displaystyle {x}}$) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.

Cauchy féle maradék

A Cauchy-féle középértéktételt alkalmazva az ${\displaystyle {{F}_{\left(y\right)}}}$ és ${\displaystyle {{G}_{\left(y\right)}}=\left(x-y\right)}$ függvényekre hasonlóan számolva mint a Lagrange maradéknál,

kapjuk a Cauchy féle maradékot: ${\displaystyle R={\frac {{{\left(x-c\right)}^{n}}\cdot \left(x-a\right)}{n!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}$ahol "${\displaystyle {c}}$" az (${\displaystyle {a}}$,${\displaystyle {x}}$) intervallumon belül van valahol, a középértéktételből adódóan.

A maradék közelítő értéke

A Cauchy-féle középértéktételt ${\displaystyle {{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left({{G}_{\left(x\right)}}-{{G}_{\left(a\right)}}\right)\cdot {\frac {F_{\left(c\right)}^{'}}{G_{\left(c\right)}^{'}}}}$alkalmazva az ${\displaystyle {{F}_{\left(y\right)}}}$ és ${\displaystyle {{G}_{\left(y\right)}}=f_{\left(y\right)}^{n'}}$ függvényekre az (a,x) intervallumon:

${\displaystyle R={{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left(f_{\left(x\right)}^{n'}-f_{\left(a\right)}^{n'}\right)\cdot {\frac {{\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}{f_{\left(c\right)}^{n+1'}}}={\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot \left(f_{\left(x\right)}^{n'}-f_{\left(a\right)}^{n'}\right)}$

kapjuk a maradék egy más fajta alakját:

${\displaystyle R={\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot \left(f_{\left(x\right)}^{n'}-f_{\left(a\right)}^{n'}\right)}$

mejnek segítségvel megadható a maradék közelítő értéke amikor "${\displaystyle {n}}$" tart a végtelenbe és ${\displaystyle f_{\left(x\right)}^{n-\varepsilon +1'},f_{\left(x\right)}^{n+1'},f_{\left(x\right)}^{n+\varepsilon +1'}\neq 0}$ az (a,x) intervallumon:

${\displaystyle R={\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{{\frac {1}{\sum \limits _{i=n+1}^{n+\varepsilon }{\frac {{{\left(x-a\right)}^{i}}\cdot f_{\left(a\right)}^{i'}}{i!}}}}-{\frac {1}{\sum \limits _{i=n-\varepsilon +1}^{n}{\frac {{{\left(x-a\right)}^{i}}\cdot f_{\left(a\right)}^{i'}}{i!}}}}}}}$ ahol ${\displaystyle \varepsilon =1,2...}$