Bilangan palindrome

Bilangan palindrome (atau disebut juga sebagai bilangan palindrom) merupakan bilangan yang tetap terlihat sama bila digit dari bilangannya dibalik. Bilangan palindrome dapat dipandang sebagai bilangan yang mempunyai sifat simetri yang dicerminkan pada garis sumbu vertikal. Selain itu, bilangan palindrome juga dapat dipandang sebagai bilangan yang dapat dibaca dari kiri ke kanan, atau sebaliknya dengan hasil yang sama. Berikut adalah 30 bilangan palindrome pertama (dalam sistem bilangan desimal):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, … (barisan A002113 pada OEIS).

Bilangan palindrome juga mendapat perhatian dalam matematika rekreasi. Ada jenis masalah yang menanyakan tentang bilangan yang mempunyai sifat tertentu dan juga dikatakan palindrome. Sebagai contoh,

• Bilangan prima palindrome: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, ... (barisan A002385 pada OEIS); dan
• Bilangan kuadrat palindrome: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321... (barisan A002779 pada OEIS).

Bilangan palindrome mempunyai jumlah yang tak berhingga banyaknya di basis manapun, karena bilangan di barisan takhingga yang dapat ditulis (dalam setiap basis) sebagai 101, 1001, 10001, 100001, dst. hanya terdiri dari bilangan palindrome saja.

Definisi formal

Walaupun bilangan palindrome seringkali dianggap sebagai bilangan desimal, namun konsep mengenai palindromisitas dapat berlaku untuk bilangan asli di sistem bilangan manapun. Misalkan bilangan ${\displaystyle n}$ lebih besar dari 0 di basis ${\displaystyle b\geq 2}$, yang ditulis dalam notasi standar sebagai:

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}$

dengan ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b}$ untuk semua ${\displaystyle i}$ dan ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$, maka ${\displaystyle n}$ dikatakan palindrom jika dan hanya jika ${\displaystyle a_{i}=a_{k-i}}$ untuk semua ${\displaystyle i}$. Di basis bilangan apapun, nol ditulis 0, dan nol juga dikatakan palindrom menurut definisi sebelumnya.