Jumlah taktentu

Dalam matematika, operator jumlah taktentu atau operator antiselisih, dilambangkan sebagai ${\displaystyle \sum _{x}}$ atau ${\displaystyle \Delta ^{-1}}$,^[1][2][3] adalah operator linear, yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu) ${\displaystyle \Delta }$. Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,

${\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x)}$.

Lebih eksplisit lagi, jika ${\displaystyle \sum _{x}f(x)=F(x)}$, kemudian

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)}$

Jika ${\displaystyle F(x)}$ adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi ${\displaystyle f(x)}$, maka ${\displaystyle F(x)+C(x)}$ untuk setiap fungsi periodik ${\displaystyle C(x)}$ dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif ${\displaystyle C}$. Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː

${\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}$

Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit

Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː ^[4]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}$

Definisi

Rumus Penjumlahan Laplace

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}\Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}+C}$

dimana ${\displaystyle c_{k}=\int _{0}^{1}{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}dx}$ adalah bilangan Cauchy untuk jenis yang pertama atau disebut sebagai bilangan Bernoulli untuk Jenis Kedua.^{[5] [butuh rujukan]}

Rumus Newton

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}[f]\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}[f](0)}{k!}}(x)_{k}+C}$

dimana ${\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}$ adalah faktorial menurun.

Rumus Faulhaber

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C\,,}$

persamaan pada ruas kanan adalah konvergen.

Rumus Mueller

Jika ${\displaystyle \lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0,}$ maka

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.}$

Rumus Euler–Maclaurin

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C}$

Pilihan dengan suku konstanta

Seringkali, konstanta ${\displaystyle C}$ pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.

Misalnya

${\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}$

Maka, konstanta ${\displaystyle C}$ diperbaiki dengan kondisi

${\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)dx=0}$

atau

${\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)dx=0}$

Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}$

atau dengan 1

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}$.^[6]

Penjumlahan menurut bagian

Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}$

Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}$

Kaidah periode

Jika ${\displaystyle T}$ adalah periode fungsi ${\displaystyle f(x)}$, maka

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}$

Jika ${\displaystyle T}$ adalah fungsi antiperiode ${\displaystyle f(x)}$, yaitu ${\displaystyle f(x+T)=-f(x)}$, maka

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}$

Penggunaan alternatif

Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan dimana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k).}$

Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup ${\displaystyle F(k)}$ untuk penjumlahan adalah solusi untuk

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}$

disebut sebagai persamanan teleskop. Kebalikan dari operator selisih mundur ${\displaystyle \nabla }$. Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.

Daftar jumlah tak tentu

Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.

Antiselisih pada Fungsi rasional

${\displaystyle \sum _{x}a=ax+C}$

${\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+C}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}}+C,\,a\notin \mathbb {Z} ^{-}}$

dimana ${\displaystyle B_{a}(x)=-a\zeta (-a+1,x)}$, yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}}+C,\,a\in \mathbb {Z} ^{-}}$

dimana ${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$ adalah fungsi poligamma .

${\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x}}=\psi (x)+C}$

dimana ${\displaystyle \psi (x)}$ adalah fungsi digamma.

${\displaystyle \sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C}$

Antiselisih pada Fungsi eksponensial

${\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C}$

Terutama,

${\displaystyle \sum _{x}2^{x}=2^{x}+C}$

Antiselisih pada fungsi logaritma

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}\Gamma (x)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(a^{x-1}\Gamma (x))+C}$

Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik

${\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}$

dimana ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$ adalah fungsi q-digamma .

Antiselisih pada fungsi trigonometri

${\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

dimana ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$ adalah fungsi q-digamma .

${\displaystyle \sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-z\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+z\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C}$

Antiselisih pada fungsi invers trigonometri

${\displaystyle \sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C}$

Antiselisih pada fungsi khusus

${\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}$

dimana ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ adalah fungsi gamma tidak kompleks.

${\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C}$

dimana ${\displaystyle (x)_{a}}$ adalah faktorial menurun .

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C}$

(lihat fungsi eksponensial super)

Lihat pula

• Produk tak tentu
• Kalkulus skala waktu
• Daftar turunan dan integral dalam kalkuli alternatif

Referensi

Bacaan lebih lanjut

• "Persamaan Perbedaan: Pengantar dengan Aplikasi", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X
• Markus Müller. Bagaimana Menambahkan Jumlah Syarat Non-Integer, dan Bagaimana Membuat Penjumlahan Tak Terbatas yang Tidak Biasa
• Markus Mueller, Dierk Schleicher. Jumlah Pecahan dan Identitas Mirip Euler
• SP Polyakov. Penjumlahan tak terbatas dari fungsi rasional dengan minimisasi tambahan dari bagian yang dapat diringkas. Programmirovanie, 2008, Jil. 34, No. 2.
• "Persamaan dan Simulasi Beda-Hingga", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968