Rumus Vieta

Dalam matematika, rumus Vieta adalah rumus antara koefisien pada polinomial bersama angka dan hasil nilai akarnya. Ditemukan oleh François Viète rumus tersebut digunakan secara khusus dalam aljabar.

François Viète mendefinisikan rumus tersebut untuk kasus menemukan akar positif. Di masa François Viète, diyakini bahwa hanya ada akar positif dalam persamaan. François Viète percaya bahwa tidak ada akar negatif dan hanya memahami sebagian hubungan antara akar persamaan dan koefisiennya. Pada 1629, matematikawan asal Prancis Albert Girard, menemukan Rumus Vieta bersifat umum, tidak terbatas pada akar nyata positif .

Ada juga spekulasi bahwa formula Viete sebenarnya ditemukan oleh Albert Girard sebelum François Viète. Misalnya, menurut matematikawan asal Inggris pada abad ke-18 Charles Hutton, Albert Girard menulis tentang keadaan umum rumus Vieta dalam karyanya sebelum François Viète.

Rumus Vieta dalam persamaan Kuadrat

Rumus Vieta memberikan hubungan sederhana antara akar polinomial dan koefisiennya. Dalam kasus polinomial kuadrat, mereka mengambil bentuk berikut:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$

dan

${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}$

Hasil ini langsung mengikuti dari relasi:

${\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0,}$

yang dapat dibandingkan istilah demi istilah dengan

${\displaystyle x^{2}+(b/a)x+c/a=0.}$

Rumus pertama di atas menghasilkan ekspresi yang sesuai saat membuat grafik fungsi kuadrat. Karena grafiknya simetris terhadap garis vertikal melalui simpul, ketika ada dua akar nyata, koordinat x titik koordinat terletak di av. Jadi x koordinat dari simpul diberikan oleh ekspresi

${\displaystyle x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.}$

y koordinat dapat diperoleh dengan mensubstitusi hasil di atas ke dalam persamaan kuadrat yang diberikan, memberikan

${\displaystyle y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}$

Sebagai masalah praktis, rumus Vieta menyediakan metode yang berguna untuk menemukan akar kuadrat dalam kasus di mana satu akar jauh lebih kecil dari yang lain. Bila | x ₂| << | x ₁|, maka x ₁ + x ₂ ≈ x ₁, dan kami memiliki perkiraan:

${\displaystyle x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.}$

Rumus Vieta kedua kemudian memberikan:

${\displaystyle x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.}$

Rumus-rumus ini jauh lebih mudah untuk dievaluasi daripada rumus kuadrat dengan syarat satu akar besar dan satu akar kecil, karena rumus kuadrat mengevaluasi akar kecil sebagai selisih b), yang menyebabkan kesalahan pembulatan dalam evaluasi numerik. Gambar 5 menunjukkan perbedaan antara (i) evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat (akurat ketika akar memiliki nilai yang berdekatan) dan (ii) evaluasi berdasarkan perkiraan rumus Vieta di atas (akurat ketika akar berjarak lebar). Sebagai koefisien linear b meningkat, awalnya rumus kuadrat akurat, dan rumus perkiraan meningkatkan keakuratannya, yang mengarah ke perbedaan yang lebih kecil antara metode sebagai b meningkat. Namun, pada titik tertentu rumus kuadrat mulai kehilangan akurasinya karena kesalahan pembulatan, sedangkan metode perkiraan terus ditingkatkan. Akibatnya, perbedaan antara metode-metode tersebut mulai meningkat karena rumus kuadrat menjadi semakin buruk.

Situasi ini umumnya muncul dalam desain amplifier, di mana akar yang terpisah jauh diinginkan untuk memastikan operasi yang stabil (lihat respons langkah).

Bukti dari pernyataan tersebut akan diberikan di akhir bagian.

Jika rumus persamaan kuadrat dirumuskan ${\displaystyle b^{2}-4acb}$

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {-b}{a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right)={\frac {(\alpha +\beta )\pm |\alpha -\beta |}{2}}=\alpha {\text{ or }}\beta ,}$

Diatas merupakan rumus persamaan kuadrat yang membuktikan rumus kuadrat.

Rumus utama

Untuk nilai polinomial dengan hasil n

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

Rumus tersebut bersama teorema fundamental aljabar hanya memiliki nila n berbeda dengan akar kompleks r₁, r₂, ..., r_n . Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah yang ditandatangani dari produk akar r₁, r₂, ..., r_n sebagai berikut:

${\displaystyle {\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\r_{1}r_{2}\dots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}$

Rumus Vieta dapat dibuat secara ekuivalen sebagai

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}},}$

Generalisasi gelanggang

Rumus Vieta sering digunakan hubungan dengan polinomial hasil koefisien dalam ranah integral R. Maka, hasil bagi ${\displaystyle a_{i}/a_{n}}$ memiliki gelanggang pecahan R dan akarnya ${\displaystyle r_{i}}$ diambil dalam ekstensi tertutup aljabar. Biasanya,

Rumus R adalah gelanggang bilangan bulat, medan pecahan adalah medan bilangan rasional dan medan yang ditutup secara aljabar adalah bidang bilangan kompleks.

Contoh

Rumus Vieta dapat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar kuadrat dari ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ dari polinomial kuadrat ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$, yaitu

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari nilai P; lihat Persamaan kuadrat § Rumus Vieta.

Akar kuadrat dari ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ dari polinomial kubik ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$, yaitu

${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$

Pemecahan Masalah Rumus Vieta

Menunjukkan bahwa

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\cot ^{2}{\Big (}{\tfrac {j\pi }{2n+1}}{\Big )}\;=\;{\tfrac {1}{3}}n(2n-1)}$

untuk bilangan bulat apa pun ${\displaystyle n\geq 1}$

Dengan ini yang pertama dengan menggunakan teorema De-Moivre untuk bilangan bulat positif m:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cos x+i\sin x)^{m}&=\cos mx+i\sin mx\\{\frac {\cos mx+i\sin mx}{\sin ^{m}x}}&=(\cot x+i)^{m}\\&=\cot ^{m}x+{\binom {m}{1}}\cot ^{m-1}(x)i+\cdots +{\binom {m}{m-1}}\cot(x)i^{m-1}+i^{m}.\end{aligned}}}$

Saat dapat mengelompokkan RHS sebagai berikut sejak kami memilikinya ${\displaystyle i^{2}=-1}$:

${\displaystyle {\text{RHS}}=\left(\cot ^{m}x-{\binom {m}{2}}\cot ^{m-2}x+\cdots \right)+i\left({\binom {m}{1}}\cot ^{m-1}x-{\binom {m}{3}}\cot ^{m-3}x+\cdots \right).}$

Menyamakan bagian imajiner di kiri dan kanan, kita dapatkan

${\displaystyle {\binom {m}{1}}\cot ^{m-1}x-{\binom {m}{3}}\cot ^{m-3}x+\cdots ={\frac {\sin mx}{\sin ^{m}x}}.}$

Membiarkan nilai ${\displaystyle \cot ^{2}x=u,}$ maka persamaannya dalam u dan jumlah akarnya diberikan oleh ${\displaystyle \displaystyle {\frac {\binom {2n+1}{3}}{\binom {2n+1}{1}}}}$ seperti yang kita ketahui dari formula Vieta. Sejak nilai ${\displaystyle x={\frac {j\pi }{2n+1}},x=2n+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}\cot ^{2}{\frac {j\pi }{2n+1}}&={\frac {\binom {2n+1}{3}}{\binom {2n+1}{1}}}\\&={\frac {1}{6}}2n(2n-1)\\&={\frac {1}{3}}n(2n-1).\ _{\square }\end{aligned}}}$

Keterangan

Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan memperluas persamaan:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$

(yang benar yaitu nilai ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$ apakah semua akar dari polinomial ini), mengalikan faktor-faktor dari sisi kanan, dan mengidentifikasi koefisien dari masing-masing pangkat ${\displaystyle x.}$

Secara formal, jika ada yang mengembang pada nilai ${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),}$ istilahnya adalah nilai ${\displaystyle (-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},}$ darimana nilai ${\displaystyle b_{i}}$ adalah 0 atau 1, sesuai dengan apakah ${\displaystyle r_{i}}$ termasuk dalam produk atau tidak, dan k adalah jumlah pada nilai ${\displaystyle r_{i}}$ hal yang ini tidak seharusnya digunakan, jadi jumlah total faktor dalam produk adalah n (dengan perhitungan ${\displaystyle x^{k}}$ dengan keserbaragaman k) sebagaimana adanya nilai n pilihan biner (yang termasuk perhitungan ${\displaystyle r_{i}}$ atau x), dan ${\displaystyle 2^{n}}$ istilah tersebut dapat dicari dalam bentuk geometris, hal ini dapat memahami sebagai simpul dari kubusganda. Mengelompokkan persamaan tersebut berdasarkan derajat menghasilkan polinomial simetris dasar di ${\displaystyle r_{i}}$ untuk nilai x^k, mendapatkan semua produk lipat pada nilai k yang berbeda dari ${\displaystyle r_{i}.}$

Sejarah

Seperti yang tercermin dalam namanya, rumus tersebut ditemukan oleh ahli matematika asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat ahli matematika asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti dikutip oleh Funkhouser,^[2] prinsip utama (tidak hanya untuk akar nyata positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematika Prancis abad ke-17 Albert Girard:

...[Girard was] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien kekuatan dari jumlah akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk sum.

Lihat pula

• Lompat Akar Vieta
• Portal:Matematika/TopikMatematika

Referensi

Pranala luar

• Rumus Viète di Brilliant.org 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Teorema Viète", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Funkhouser, H. Gray (1930), "Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan", Bulanan Matematika Amerika, Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 
• Vinberg, E. B. (2003), Kursus aljabar, American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN 0-8218-3413-4 

• Djukić, Dušan; et al. (2006), Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004, Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6