Simetri turunan kedua

Dalam ilmu matematika, simetri turunan kedua adalah kemungkinan mengganti susunan pencarian turunan parsial suatu fungsi pada kondisi tertentu.

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$

Jika turunan parsial untuk ${\displaystyle x_{i}}$ ditandai dengan ${\displaystyle i}$ kecil, maka simetri turunan kedua adalah penegasan bahwa turunan parsial kedua${\displaystyle f_{ij}}$ memenuhi identitas:

${\displaystyle f_{ij}=f_{ji}}$

sehingga mereka membentuk n × n matriks simetri. Karakteristik ini juga disebut teorema Schwarz, teorema Clairaut atau teorema Young.^[1][2]

Dalam konteks persamaan diferensial parsial, simetri turunan kedua disebut kondisi integrabilitas Schwarz.

Pernyataan simetri secara formil

Simetri ini dapat ditulis sebagai berikut:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right).}$

Ekspresi lain yang dapat digunakan adalah:

${\displaystyle \partial _{xy}f=\partial _{yx}f.}$

Teorema Schwarz

Teorema Schwarz menyatakan bahwa jika

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

memiliki turunan parsial kedua kontinu pada titik manapun di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, misalnya, ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n}),}$ maka ${\displaystyle \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

Catatan kaki

Bacaan lanjut

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4