Turunan parsial

Artikel ini dalam proses penambahan

Dalam matematika, turunan parsial sebuah fungsi matematika peubah banyak adalah turunannya terhadap salah satu peubah (variabel) dengan peubah lainnya dipertahankan (konstan). Ini dibedakan dengan turunan total, yang membolehkan semua variabelnya untuk berubah. Turunan parsial berguna dalam bidang kalkulus vektor dan geometri diferensial

Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap variabel x dituliskan oleh berbagai sumber rujukan sebagai

f x ′ ,   f x ,   ∂ x f ,  atau ∂ f ∂ x . {\displaystyle f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,{\text{ atau}}{\frac {\partial f}{\partial x}}.}

Lambang turunan parsial ∂ adalah huruf bundar, diturunkan namun berbeda dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan dengan notasi turunan total d (dan dari huruf ð)

Pengantar

Jika f adalah fungsi lebih dari satu variabel. Misalnya,

z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}
Grafik pada z = x2 + xy + y2. Untuk turunan parsial pada (1,1) yang meninggalkan y konstan, garis singgung terkait sejajar dengan bidang xz.
Sepotong grafik di atas menunjukkan fungsi pada bidang xz pada y = 1. Perhatikan bahwa kedua sumbu ditampilkan di sini dengan skala yang berbeda. Kemiringan garis singgung adalah 3.

grafik dari fungsi tersebut merumuskan permukaan pada Ruang Euclides. Untuk setiap titik pada permukaan ini terdapat jumlah garis pinggir tidak terbatas. Antiturunan parsial salah satu garis yang ditemukannya kemiringan. Biasanya, garis yang paling terkenal adalah garis yang sejajar dengan x z {\displaystyle xz} , dan yang sejajar dengan yz.

Dengan cara mencari turunan dari persamaan sambil mengasumsikan y {\displaystyle y} adalah konstan, kami menemukan bahwa kemiringan f {\displaystyle f} pada intinya ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} adalah, sebagai berikut:

∂ z ∂ x = 2 x + y . {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}

Jadi ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} , dengan substitusi, kemiringan adalah 3. Oleh karena itu,

∂ z ∂ x = 3 {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}

Definisi

Contoh

  • Tentukan turunan kedua dari z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}} !
f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}
Turunan pertama
f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}
f x ( x , y ) = 2 x + y {\displaystyle f_{x}(x,y)=2x+y}
f y ( x , y ) = x + 2 y {\displaystyle f_{y}(x,y)=x+2y}
Turunan kedua
f x ( x , y ) = 2 x + y {\displaystyle f_{x}(x,y)=2x+y}
f x x ( x , y ) = 2 {\displaystyle f_{xx}(x,y)=2}
f x y ( x , y ) = 1 {\displaystyle f_{xy}(x,y)=1}
f y ( x , y ) = x + 2 y {\displaystyle f_{y}(x,y)=x+2y}
f y y ( x , y ) = 2 {\displaystyle f_{yy}(x,y)=2}
f y x ( x , y ) = 1 {\displaystyle f_{yx}(x,y)=1}
  • Tentukan turunan kedua dari z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 3 {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{3}} !
f ( x , y ) = x 2 + x y + y 3 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{3}}
Turunan pertama
f ( x , y ) = x 2 + x y + y 3 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{3}}
f x ( x , y ) = 2 x + y {\displaystyle f_{x}(x,y)=2x+y}
f y ( x , y ) = x + 3 y 2 {\displaystyle f_{y}(x,y)=x+3y^{2}}
Turunan kedua
f x ( x , y ) = 2 x + y {\displaystyle f_{x}(x,y)=2x+y}
f x x ( x , y ) = 2 {\displaystyle f_{xx}(x,y)=2}
f x y ( x , y ) = 1 {\displaystyle f_{xy}(x,y)=1}
f y ( x , y ) = x + 3 y 2 {\displaystyle f_{y}(x,y)=x+3y^{2}}
f y y ( x , y ) = 6 y {\displaystyle f_{yy}(x,y)=6y}
f y x ( x , y ) = 1 {\displaystyle f_{yx}(x,y)=1}


Notasi

Analog Antiturunan

Antiturunan parsial dengan urutan lebih tinggi

Lihat pula

  • Operator d'Alembertian
  • Curl (matematika)

Catatan

Referensi

Pranala luar

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Partial Derivatives at MathWorld


  • l
  • b
  • s