Unit imajiner

i {\displaystyle i} terletak di bidang kompleks. Bilangan riil terletak pada sumbu horizontal, dan bilangan imajiner terletak pada sumbu vertikal.

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit ( i {\displaystyle i} ) adalah solusi untuk persamaan kuadrat x {\displaystyle x} 2 + 1 = 0 {\displaystyle +1=0} . Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, i {\displaystyle i} dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah 2 + 3 i {\displaystyle 2+3i} .

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil R {\displaystyle \mathbb {R} } ke sistem bilangan kompleks C {\displaystyle \mathbb {C} } , dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial P ( x ) {\displaystyle P(x)} yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu i {\displaystyle i} dan − i {\displaystyle -i} , sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks j {\displaystyle j} yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan i {\displaystyle i} , sebab i {\displaystyle i} dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan j {\displaystyle j} alih-alih i {\displaystyle i} , karena i {\displaystyle i} biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.[1]

Definisi

Nilai siklus perpangkatan dari i
:
. . . {\displaystyle ...} (daerah yang berwarna biru
menandakan pola berulang)
i − 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i}
i − 2 = − 1 {\displaystyle i^{-2}=-1}
i − 1 = − i {\displaystyle i^{-1}=-i}
i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1}
i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i}
i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
i 3 = − i {\displaystyle i^{3}=-i}
i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1}
i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i}
i 6 = − 1 {\displaystyle i^{6}=-1}
. . . {\displaystyle ...} (daerah yang berwarna biru
menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner i {\displaystyle i} didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah − 1 {\displaystyle -1} :

i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.}
Oleh karena itu, i {\displaystyle i} dan − i {\displaystyle -i} sama-sama merupakan akar kuadrat dari − 1 {\displaystyle -1} .

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan i {\displaystyle i} sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan i 2 {\displaystyle i^{2}} dengan −1). Perpangkatan dari i {\displaystyle i} yang lebih tinggi dapat digantikan dengan − i {\displaystyle -i} , 1 {\displaystyle 1} , i {\displaystyle i} , atau − 1 {\displaystyle -1} :

i 3 = i 2 i = ( − 1 ) i = − i i 4 = i 3 i = ( − i ) i = − ( i 2 ) = − ( − 1 ) = 1 i 5 = i 4 i = ( 1 ) i = i . {\displaystyle {\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}}

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:

i 0 = i 1 − 1 = i 1 i − 1 = i 1 1 i = i 1 i = i i = 1. {\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.}

Sebagai bilangan kompleks, i {\displaystyle i} dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai 0 + 1 i {\displaystyle 0+1i} , yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, i {\displaystyle i} dapat dinyatakan sebagai 1 × e i π / 2 {\displaystyle 1\times e^{i\pi /2}} (atau cukup tulis e i π / 2 {\displaystyle e^{i\pi /2}} ), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari π / 2 {\displaystyle \pi /2} radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari 2 π {\displaystyle 2\pi } ). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, i {\displaystyle i} adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat

Akar kuadrat dan akar kubik

Dua buah akar kuadrat dari i {\displaystyle i} dalam bidang kompleks
Tiga buah akar kubik dari i {\displaystyle i} dalam bidang kompleks

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, i {\displaystyle i} mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu [a]

± ( 2 2 + 2 2 i ) = ± 2 2 ( 1 + i ) . {\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2   = ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2   = 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) = 1 2 ( 1 + 2 i − 1 )   = i . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}}

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan

i = 2 2 ( 1 + i ) . {\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}

Tiga buah akar kubik dari i {\displaystyle i} adalah:[3]

( − i , 3 2 + i 2 , − 3 2 + i 2 ) . {\displaystyle \left(-i,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right).}

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari i {\displaystyle i} adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.

Catatan

  1. ^ Cara mencari akar kuadrat dari i {\displaystyle i} adalah dengan menyelesaikan persamaan ( x + i y ) 2 = i {\textstyle (x+iy)^{2}=i} dengan x dan y adalah parameter real yang akan dicari; persamaan tersebut sama saja dengan menulis x 2 + 2 i x y − y 2 = i . {\displaystyle x^{2}+2ixy-y^{2}=i.} Karena bagian riil dan imajiner selalu terpisah, maka suku-suku di persamaan dapat disusun menjadi x 2 − y 2 + 2 i x y = 0 + i . {\displaystyle x^{2}-y^{2}+2ixy=0+i.} Dengan menyamakan koefisien dan memisahkan bagian riil dan imajiner, maka didapatkan sistem dari dua persamaan:
    x 2 − y 2 = 0 2 x y = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}}
    Dengan mensubstitusi y = 1 2 x − 1 {\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}} ke persamaan pertama, maka didapatkan
    x 2 − 1 4 x − 2 = 0 ⟹ 4 x 4 = 1. {\displaystyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0\implies 4x^{4}=1.}
    Karena x {\displaystyle x} bilangan riil, maka persamaan ini mempunyai dua buah solusi riil untuk x {\displaystyle x} . yaitu x = 1 2 {\displaystyle x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}} dan x = − 1 2 {\displaystyle x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}} . Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan 2 x y = 1 {\displaystyle 2xy=1} , maka didapatkan hasil yang sama untuk y {\displaystyle y} . Dengan demikian, akar kuadrat dari i {\displaystyle i} adalah 1 2 + 1 2 i {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i} dan − 1 2 − 1 2 i {\displaystyle -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i} .[2]

Rujukan

  1. ^ Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical SciencesAkses gratis dibatasi (uji coba), biasanya perlu berlangganan (edisi ke-3). New York [u.a.]: Wiley. hlm. 49. ISBN 0-471-19826-9. 
  2. ^ "What is the square root of i {\displaystyle i} ?". University of Toronto Mathematics Network. Diakses tanggal 26 Maret 2007. 
  3. ^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick D. (2003). A first course in complex analysis with applications. Boston: Jones and Bartlett. hlm. 24–25. ISBN 0-7637-1437-2. OCLC 50495529.