Composizione delle velocità

In fisica, la composizione delle velocità è un insieme di equazioni che descrivono il legame tra le velocità di un oggetto in due sistemi di riferimento diversi, l'uno in moto rettilineo uniforme rispetto all'altro. Nella teoria della relatività ristretta esse tengono conto, in particolare, dell'insuperabilità della velocità della luce e della sua costanza indipendentemente dal sistema di riferimento inerziale scelto.

Composizione galileiana delle velocità

Nell'ambito della relatività galileiana, in cui si suppone che le velocità in gioco siano molto minori della velocità della luce, se un sistema di riferimento inerziale si muove con velocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$ rispetto ad un secondo sistema, supposto fermo, un oggetto che si muove con velocità ${\displaystyle \mathbf {u} }$ nel sistema di riferimento in quiete possiede, nel sistema in moto, una velocità ${\displaystyle \mathbf {s} }$ data da:

${\displaystyle \mathbf {s} =\mathbf {u} -\mathbf {v} \ }$

Composizione relativistica delle velocità

La somma relativistica di due velocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {u} }$ è data da:^[1]

${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {v} +\mathbf {u} _{\parallel }+\alpha _{\mathbf {v} }\mathbf {u} _{\perp }}{1+{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}},}$

dove ${\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }}$ e ${\displaystyle \mathbf {u} _{\perp }}$ sono le componenti di ${\displaystyle \mathbf {u} }$ parallele e perpendicolari a ${\displaystyle \mathbf {v} }$, mentre:

${\displaystyle \alpha _{\mathbf {v} }={\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}}$

è il reciproco del fattore ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {v} }}$. Scrivendo:

${\displaystyle \,{\mathbf {u} }_{||}={\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} \over |\mathbf {v} |^{2}}\mathbf {v} \qquad \qquad {\mathbf {u} }_{\perp }=\mathbf {u} -{\mathbf {u} }_{||}}$

l'equazione assume la forma:^[2]

${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {v} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {v} }}}\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{1+\gamma _{\mathbf {v} }}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} \right\}}$

Esplicitando le coordinate:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{1+\gamma _{\mathbf {v} }}}(v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3})\right]{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {v} }}}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}}$

con:

${\displaystyle \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

L'addizione delle velocità è inoltre commutativa solo se ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sono parallele, infatti:

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =gyr[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

e si ha:

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus gyr[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$

dove gyr è un operatore che rappresenta l'astrazione matematica della precessione di Thomas, ed è dato da:

${\displaystyle gyr[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))\quad \forall \mathbf {w} }$

Se si considerano due sistemi ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle K'}$ con gli assi allineati e in moto relativo rettilineo uniforme lungo l'asse x con velocità ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},0,0)}$, detta velocità di trascinamento, per un oggetto che si muove con velocità ${\displaystyle \mathbf {u} }$ si ha che ${\displaystyle \mathbf {u} }$ e la velocità di trascinamento ${\displaystyle \mathbf {v} }$ di ${\displaystyle K'}$ rispetto a ${\displaystyle K}$ si compongono per dare una velocità rispetto a ${\displaystyle K'}$ secondo le seguenti formule:

${\displaystyle {\begin{cases}{u'_{x}}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}\,\\{u'_{y}}={\frac {u_{y}}{\gamma (1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}})}}\,\\{u'_{z}}={\frac {u_{z}}{\gamma (1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}})}}\end{cases}}}$

Queste trasformazioni si generalizzano immediatamente al caso di velocità di trascinamento qualsiasi e assi non allineati tramite isometrie spaziali (traslazioni e rotazioni).

Se il boost è lungo una direzione generica, invece, si ottiene:

${\displaystyle {\vec {u}}'=\displaystyle {\frac {{\vec {u}}+\left[\left(\gamma -1\right)\displaystyle {\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{v^{2}}}-\gamma \right]{\vec {v}}}{\gamma \left(1-\displaystyle {\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{c^{2}}}\right)}}}$

Derivazione dalle trasformazioni di Lorentz

Passando da un sistema inerziale S ad un altro sistema inerziale S* con velocità relativa ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (diretta lungo l'asse positivo delle x) rispetto al primo, il quadrivettore posizione si modifica come segue:

${\displaystyle {\begin{cases}t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\\x'=\gamma \left(x-vt\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}}}$

Differenziando:

${\displaystyle {\begin{cases}dt'=\gamma \left(dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx\right)\\dx'=\gamma \left(dx-vdt\right)\\dy'=dy\\dz'=dz\end{cases}}}$

Infine, tenendo conto della definizione di velocità, si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}{u'_{x}}={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma (dx-vdt)}{\gamma (dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx)}}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}\,\\{u'_{y}}={\frac {dy'}{dt'}}={\frac {dy}{\gamma (dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx)}}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}\,\\{u'_{z}}={\frac {dz'}{dt'}}={\frac {dz}{\gamma (dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx)}}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}\end{cases}}}$

Rapidità

Un secondo metodo per calcolare la composizione relativistica delle velocità, nel caso in cui le due velocità siano parallele basato sulle proprietà geometriche dello spazio di Minkowski, si ottiene definendo un fattore rapidità, correlato alla velocità ${\displaystyle v}$ dalla relazione:

${\displaystyle \eta =\operatorname {settanh} {\frac {v}{c}}}$

Detta:

${\displaystyle \vartheta =\operatorname {settanh} {\frac {u}{c}}}$

la rapidità di una seconda particella in moto a velocità ${\displaystyle u}$ rispetto allo stesso sistema di riferimento, allora la rapidità relativa delle due particelle è:

${\displaystyle \eta ^{*}=\eta +\vartheta }$

da cui si ricava la velocità relativa:

${\displaystyle v^{*}=c\tanh \eta ^{*}}$

Esempio

Sia dato un sistema di riferimento inerziale S. Due astronauti A e B viaggiano lungo l'asse x con velocità ${\displaystyle v_{A}={\frac {2}{3}}c}$ e ${\displaystyle v_{B}=-{\frac {2}{3}}c}$, cioè opposte e uguali in modulo. Qual è la velocità dell'astronauta A visto nel sistema di riferimento S* solidale con l'astronauta B?

Applicando le trasformazioni sovrastanti si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}{u'_{x}}={\frac {{\frac {2}{3}}c-(-{\frac {2}{3}}c)}{1-{\frac {1}{c^{2}}}{(-{\frac {2}{3}}c)({\frac {2}{3}}c)}}}={\frac {{\frac {4}{3}}c}{\frac {13}{9}}}={\frac {12}{13}}c\,\\{u'_{y}}=0\,\\{u'_{z}}=0\end{cases}}}$

Notare che il modulo della nuova velocità ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ è minore di c, come prevede la relatività ristretta.

Note

Bibliografia

• Øyvind Grøn, Sigbjørn Hervik, Einstein's General Theory of Relativity, New York, Springer, 2007
• Albert Einstein, Relativity: The Special and the General Theory, New York, Three Rivers Press, 1995, ISBN 0-517-88441-0.
• A. Ernst e J.-P. Hsu, First proposal of the universal speed of light by Voigt 1887 (PDF), in Chinese Journal of Physics, vol. 39, n. 3, 2001, pp. 211–230 (archiviato dall'url originale il 16 luglio 2011).
• P. Langevin, L'évolution de l'éspace et du temps, in Scientia, X, 1911, pp. 31–54.
• J. Larmor, Upon a dynamical theory of the electric and luminiferous medium, in Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 190, 1897, pp. 205–300, DOI:10.1098/rsta.1897.0020.
• J. Larmor, Aether and matter, Cambridge, [England], Cambridge University Press, 1900.
• Hendrik Antoon Lorentz, Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving systems, in Proc. Acad. Science Amsterdam, I, 1899, pp. 427–443.
• Hendrik Antoon Lorentz, Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light, in Proc. Acad. Science Amsterdam, IV, 1904, pp. 669–678.
• Hendrik Antoon Lorentz, The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat; a course of lectures delivered in Columbia university, New York, in March and April 1906, Leipzig, [Germany] ; New York, [NY.], B.G. Teubner ; G.E. Stechert, 1909.
• Henri Poincaré, Sur la dynamique de l'électron (PDF), in Comptes Rendues, vol. 140, 1905, pp. 1504–1508.
• Stephen T. Thornton e Jerry B. Marion, Classical dynamics of particles and systems, 5th, Belmont, [CA.], Brooks/Cole, 2004, pp. 546–579, ISBN 0-534-40896-6.
• Woldemar Voigt, Über das Doppler'sche princip, in Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen, vol. 2, 1887, pp. 41–51.

Voci correlate

• Elettromagnetismo
• Gruppo di Lorentz
• Teoria della relatività
• Trasformazione di Lorentz
• Trasformazione galileiana
• Trasformazione ortogonale

Collegamenti esterni

• Derivation of the Lorentz transformations. This web page contains a more detailed derivation of the Lorentz transformation with special emphasis on group properties.
• The Paradox of Special Relativity. This webpage poses a problem, the solution of which is the Lorentz transformation, which is presented graphically in its next page.
• Relativity Archiviato il 29 agosto 2011 in Internet Archive. - a chapter from an online textbook
• Special Relativity: The Lorentz Transformation, The Velocity Addition Law Archiviato il 14 maggio 2017 in Internet Archive. on Project PHYSNET
• Warp Special Relativity Simulator. A computer program demonstrating the Lorentz transformations on everyday objects.
• Animation clip visualizing the Lorentz transformation.
• Lorentz Frames Animated from John de Pillis. Online Flash animations of Galilean and Lorentz frames, various paradoxes, EM wave phenomena, etc.