Congettura di Opperman

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La congettura di Opperman è una congettura, formulata nel 1882, secondo cui il numero dei numeri primi minori o uguali a ${\displaystyle n}$, cioè ${\displaystyle \pi (n)}$, soddisfa la disuguaglianza

${\displaystyle \pi (n^{2}+n)>\pi (n^{2})>\pi (n^{2}-n),\,\,\forall {n\in \mathbb {N} \vee n>1}\,}$

ossia, tra il quadrato di un numero ${\displaystyle n}$, e il quadrato più (o meno) quel numero, esiste almeno un numero primo. Essa pone una condizione più restrittiva del teorema di Chebyshev, che afferma

${\displaystyle \pi (2n)>\pi (n)}$

Infatti posto ${\displaystyle n^{2}=p\,\,,n={\sqrt {p}}}$, si ha che

${\displaystyle n^{2}+n=p+{\sqrt {p}}<2p\,,\,\,\forall n>2}$

e, col segno meno

${\displaystyle n^{2}-n=p-{\sqrt {p}}>{p \over 2}\,,\,\,\forall n>2}$

e quindi

${\displaystyle 2p>n^{2}+n=p+{\sqrt {p}}>p>p-{\sqrt {p}}=n^{2}-n>{p \over 2}\,,\,\,\forall n>2}$

In pratica la congettura di Opperman dice che esiste sempre un numero primo tra ${\displaystyle n^{2}-n}$ e ${\displaystyle n^{2}}$, e tra ${\displaystyle n^{2}}$ e ${\displaystyle n^{2}+n}$, o equivalentemente, esistono almeno due numeri primi tra ${\displaystyle n^{2}-n}$ e ${\displaystyle n^{2}+n}$. La congettura sarebbe immediatamente dimostrata se venisse provato che la massima distanza tra due primi, di cui il minore è ${\displaystyle p}$, è proporzionale al quadrato del logaritmo di ${\displaystyle p}$, cioè

${\displaystyle \pi (p+c\cdot \operatorname {log} ^{2}p)>\pi (p)}$

La congettura di Opperman è anche una restrizione della congettura di Legendre, anch'essa indimostrata: secondo quest'ultima

${\displaystyle \pi ((n+1)^{2})=\pi (n^{2}+2n+1)>\pi (n^{2})}$

o, in parole, vi è almeno un numero primo tra i quadrati di due numeri consecutivi.

Nel 1984 J. Iwaniec e H. Pintz ^[1] hanno dimostrato che sempre un numero primo fra ${\displaystyle n-n^{\theta }}$ ed ${\displaystyle n}$, con ${\displaystyle \theta =23/42=0,547...}$. Poiché

${\displaystyle \forall n>2\,\,,\,n^{23 \over 42}>{\sqrt {n}}}$

e

${\displaystyle \forall n>2\,\,,\,n^{23 \over 42}-{\sqrt {n+n^{23 \over 42}}}<0}$

la congettura di Opperman è un'ulteriore restrizione.

Note

Bibliografia

• Wells, David, Prime Numbers: The most mysterious figures in math, John Wiley & Sons, 2005, ISBN 0-471-46234-9.
• Ribenboim, Paulo, The little book of big primes, Springer, 1991, ISBN 0-387-97508-X.

Voci correlate

• Congettura di Goldbach
• Congettura dei numeri primi gemelli
• Numero primo

Collegamenti esterni

• Articolo dove si cita la congettura di Opperman, su vialattea.net.

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