Dodecadodecaedro camuso

Dodecadodecaedro camuso
TipoPoliedro stellato uniforme
Forma facce60 triangoli
12 pentagoni
12 pentagrammi
Nº facce84
Nº spigoli150
Nº vertici60
Caratteristica di Eulero-6
Incidenza dei vertici3.3.5/2.3.5
Notazione di Wythoff| 2 5/2 5
Notazione di Schläflisr{5/2,5}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetriaI, [5,3]+, 532
DualeEsacontaedro pentagonale medio
ProprietàNon convessità
Politopi correlati
Figura al vertice
Poliedro duale
Manuale

In geometria, il dodecadodecaedro camuso è un poliedro stellato uniforme avente 84 facce - 60 triangolari, 12 pentagonali e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.[1]

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del dodecadodecaedro camuso, spesso indicato con il simbolo U40 e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

( ± 2 α , ± 2 , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 + φ ) , ± ( − α φ + β + φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1)\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ + 1 ) , ± ( − α + β φ − 1 − φ ) , ± ( α φ + β − φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ − 1 ) , ± ( α − β φ − 1 − φ ) , ± ( α φ + β + φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 − φ ) , ± ( α φ − β + φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ + 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1)\,\right)}

con un numero pari di segni più, dove β =     α 2 φ + φ       α φ − 1 φ   , {\displaystyle \beta ={\frac {\ \ {\frac {\alpha ^{2}}{\varphi }}+\varphi \ \ }{\ \alpha \varphi -{\frac {1}{\varphi }}}}\ ,} φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} è la sezione aurea e α è la radice reale positiva di φ α 4 − α 3 + 2 α 2 − α − 1 φ ⟹ α ≈ 0 , 7964421. {\displaystyle \varphi \alpha ^{4}-\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}-\alpha -{\frac {1}{\varphi }}\quad \implies \quad \alpha \approx 0,7964421.}

Poliedri correlati

Esacontaedro pentagonale medio

Esacontaedro pentagonale medio
TipoPoliedro stellato
Forma faccePentagoni irregolari
Nº facce60
Nº spigoli150
Nº vertici84
Caratteristica di Eulero-6
Gruppo di simmetriaI, [5,3]+, 532
DualeDodecadodecaedro camuso
Manuale

L'esacontaedro pentagonale medio è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del dodecadodecaedro camuso, avente per facce 60 pentagoni irregolari.[2]

Dato un dodecadodecaedro camuso di spigolo pari a 1, immaginando l'esacontaedro pentagonale medio come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero ξ ≈ − 0 , 409 037 788 014 42 {\displaystyle \xi \approx -0,409\,037\,788\,014\,42} , ogni faccia risulta avere tre angoli uguali di ampiezza pari a arccos ⁡ ( ξ ) ≈ 114 , 144 404 470 43 ∘ {\displaystyle \arccos(\xi )\approx 114,144\,404\,470\,43^{\circ }} , uno di ampiezza pari a arccos ⁡ ( φ 2 ξ + φ ) ≈ 56 , 827 663 280 94 ∘ {\displaystyle \arccos(\varphi ^{2}\xi +\varphi )\approx 56,827\,663\,280\,94^{\circ }} e l'ultimo di ampiezza pari a arccos ⁡ ( φ − 2 ξ − φ − 1 ) ≈ 140 , 739 123 307 76 ∘ {\displaystyle \arccos(\varphi ^{-2}\xi -\varphi ^{-1})\approx 140,739\,123\,307\,76^{\circ }} , con due lati di lunghezza pari a 1 + 1 − ξ − φ − 3 − ξ ≈ 3 , 854 145 870 08 , {\displaystyle 1+{\sqrt {\frac {1-\xi }{-\varphi ^{-3}-\xi }}}\approx 3,854\,145\,870\,08,} due più corti di lunghezza 1 + 1 − ξ φ 3 − ξ ≈ 1 , 550 761 427 20 , {\displaystyle 1+{\sqrt {\frac {1-\xi }{\varphi ^{3}-\xi }}}\approx 1,550\,761\,427\,20,} e uno medio di lunghezza 2.

Note

  1. ^ Roman Maeder, 40: snub dodecadodecahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
  2. ^ Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 120. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Dodecadodecaedro camuso, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Esacontaedro pentagonale medio, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.
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