Funzione eta di Dirichlet

Per ogni s con ${\displaystyle Re(s)>0}$ la funzione eta di Dirichlet si definisce come^[1]:

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots }$

Sono disponibili alcune estensioni che portano la serie a convergere per ogni ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

Si può stabilire una correlazione tra la funzione eta e la funzione zeta di Riemann ζ:

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}$

Poiché la funzione eta converge per ogni ${\displaystyle Re(s)>0}$ mentre la funzione zeta solo per ${\displaystyle Re(s)>1}$ la funzione eta può rappresentare un prolungamento analitico dell'altra.

Analogamente alla funzione zeta di Riemann si può dimostrare questa formula di riflessione

${\displaystyle \eta (-s)=-(2^{{s \over 2}\ -1}csch({s\ ln(2) \over 2})+1)\pi ^{-s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s+1)\eta (s+1).}$

Che ci fornisce un prolungamento analitico per il semipiano complesso negativo.

Grazie alla suddetta formula che collega la funzione eta a la funzione zeta si possono ricavare delle forme esatte (o chiuse) per ogni valore in cui la funzione zeta di Riemann è definita esattamente, ovvero per i valori pari di s, mentre per i valori dispari non si dispone ancora di una forma esatta. Nel caso s=0 (nel quale la formula è indeterminata) invece si dispone di un valore adatto poiché è un caso particolare della serie di Mercator.

Ecco dunque i valori per cui si dispone di una forma esatta:

${\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}$, ossia la serie armonica a segni alterni

${\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}$

${\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}$

${\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}$

${\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}$

${\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}}$

${\displaystyle \eta (12)={{61499\pi ^{12}} \over {56855407305}}}$

Più in generale per ogni valore pari di s:

${\displaystyle \eta (2s)={{B_{2s}\pi ^{2s}(4^{s}-1)} \over {(2s!)}}}$

Dove ${\displaystyle B_{s}}$ sono i numeri di Bernoulli

Per i valori di s minori di 1 la serie diverge ma è possibile trovare dei prolungamenti analitici:

${\displaystyle \eta (0)=1-1+1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \eta (-1)=1-2+3-4+5-\cdots ={\frac {1}{4}}}$

Generalizzando per ogni s minore di uno

${\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}$

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Dover, 1990 [1922], ISBN 0-486-66165-2.
• John Derbyshire. L'ossessione dei numeri primi: Bernhard Riemann e il principale problema irrisolto della matematica. Torino, Bollati Boringhieri, 2006. ISBN 88-339-1706-1.

• Funzione zeta di Riemann
• Serie di Mercator
• Serie armonica a segni alterni

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Funzione eta di Dirichlet

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione eta di Dirichlet, su MathWorld, Wolfram Research.

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