In analisi numerica l'interpolazione di Lagrange è un particolare tipo di interpolazione polinomiale, fu scoperta per la prima volta da Edward Waring nel 1779, successivamente da Leonhard Euler nel 1783 e infine riscoperta da Joseph Louis Lagrange nel 1795.
Definizione
Data una funzione e punti per cui sono noti i valori si definisce il polinomio interpolatore di Lagrange della funzione il polinomio
Proprietà
Per ogni si ha e per qualsiasi si ha
dove è un valore incognito funzione di appartenente all'intervallo minimo a cui appartengono i punti e .
Dimostrazione
Per semplicità scriviamo
per cui
dove
ora abbiamo che per ogni accade che poiché l'espressione di contiene un fattore a numeratore, del resto per ogni da cui .
Adesso consideriamo la funzione
quando , essa ha zeri nei punti e , derivando volte
Dall'applicazione del teorema di Rolle per volte la funzione ha almeno uno zero nell'intervallo minimo che contiene e .
Sappiamo che è un polinomio di grado il cui coefficiente di è 1, per cui , invece è un polinomio di grado per cui , infine
da cui
Voci correlate
- Interpolazione
- Analisi numerica
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Interpolazione di Lagrange, su MathWorld, Wolfram Research.
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