Ipersfera

In matematica, e in particolare in geometria, una ipersfera è l'analogo di una sfera in più di tre dimensioni. Una ipersfera di raggio ${\displaystyle r}$ nello spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale consiste di tutti i punti che hanno distanza ${\displaystyle r}$ da un dato punto fissato ${\displaystyle P}$, chiamato centro dell'ipersfera

${\displaystyle S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}}$

e rappresenta quindi un'ipersuperficie, ossia una varietà ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale immersa nello spazio ${\displaystyle n}$-dimensionale. Per tale motivo, su alcuni testi, in particolare in topologia, viene indicata con ${\displaystyle S_{n-1}}$ invece che ${\displaystyle S_{n}}$. In questo articolo, sarà indicata con ${\displaystyle S_{n}}$, per rendere più chiare alcune relazioni matematiche. Tuttavia, accenneremo alla notazione utilizzata in topologia nell'ultimo paragrafo.

Nello spazio euclideo, l'ipersfera ${\displaystyle S_{n}}$ è la frontiera della palla ${\displaystyle n}$-dimensionale chiusa, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore o uguale a ${\displaystyle r}$ da un dato punto ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\overline {V}}_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|\leqslant r\right\},}$

e racchiude la palla ${\displaystyle n}$-dimensionale aperta, che è l'insieme di tutti i punti che hanno distanza minore di ${\displaystyle r}$ da un dato punto ${\displaystyle P}$

${\displaystyle V_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|<r\right\}.}$

Per esempio:

• nello spazio euclideo 1-dimensionale, ossia la retta, ${\displaystyle S_{1}}$ è una coppia di punti che delimita ${\displaystyle V_{1}}$ che è un segmento;
• nello spazio euclideo 2-dimensionale, ossia il piano, ${\displaystyle S_{2}}$ è una circonferenza che delimita ${\displaystyle V_{2}}$ che è un cerchio;
• nello spazio euclideo 3-dimensionale, ${\displaystyle S_{3}}$ è una superficie sferica ordinaria che delimita ${\displaystyle V_{3}}$ che è l'interno della sfera.

In coordinate cartesiane ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$, l'equazione

${\displaystyle \left\|x-P\right\|=r}$

di un'ipersfera di centro ${\displaystyle P=\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\right)}$ e raggio ${\displaystyle r}$ si scrive

${\displaystyle (x_{1}-p_{1})^{2}+(x_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-p_{n})^{2}=r^{2}}$

Un'ipersfera di raggio ${\displaystyle r}$ e centro ${\displaystyle P}$ può essere anche rappresentata in forma parametrica mediante le seguenti equazioni:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=p_{1}+r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=p_{2}+r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=p_{3}+r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\\vdots \\x_{n-1}&=p_{n-1}+r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=p_{n}+r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\end{aligned}}}$

dove l'ultima variabile angolare ${\displaystyle \phi _{n-1}}$ varia in un intervallo di ampiezza ${\displaystyle 2\pi }$ mentre le altre variano un intervallo di ampiezza ${\displaystyle \pi }$.

Strettamente correlata alla rappresentazione parametrica di un'ipersfera, c'è la definizione di coordinate ipersferiche.

In uno spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale, oltre alle coordinate cartesiane, possiamo definire un sistema di coordinate analogo al sistema delle coordinate sferiche definito per lo spazio euclideo ${\displaystyle 3}$-dimensionale, nel quale le coordinate consistono in una coordinata radiale ${\displaystyle r}$, ed ${\displaystyle n-1}$ coordinate angolari ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n-1}}$. Se ${\displaystyle x_{i}}$ sono le coordinate cartesiane, allora possiamo definire

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\\vdots \\x_{i}&=r\prod _{t=1}^{i-1}\sin(\phi _{t})\cos(\phi _{i})\quad {\text{con}}\quad 2\leq i\leq n-1\\\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})=r\prod _{t=1}^{n-1}\sin(\phi _{t})\end{aligned}}}$

Come abbiamo visto in precedenza, queste equazioni forniscono anche la rappresentazione parametrica di un'ipersfera, se fissiamo la coordinata radiale ${\displaystyle r}$ che corrisponderà al raggio dell'ipersfera rappresentata, supponendo che essa sia centrata nell'origine.

Da esse si possono ottenere le seguenti trasformazioni inverse:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\phi _{n-1})&={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\\\tan(\phi _{n-2})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}\\\vdots \\\tan(\phi _{1})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}\end{aligned}}}$

Si noti che l'ultimo angolo ${\displaystyle \phi _{n-1}}$ varia in un intervallo di ampiezza ${\displaystyle 2\pi }$ mentre gli altri angoli variano in un intervallo di ampiezza ${\displaystyle \pi }$. Questo intervallo copre l'intera ipersfera.

L'elemento di ipervolume nello spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale si ottiene dallo Jacobiano della trasformazione:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\end{aligned}}}$

e l'equazione per l'ipervolume dell'ipersfera può essere ottenuta tramite la seguente integrazione:

${\displaystyle V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}.}$

L'elemento di ipersuperficie ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale dell'ipersfera, che generalizza l'elemento d'area della superficie sferica ${\displaystyle 2}$-dimensionale nello spazio ${\displaystyle 3}$-dimensionale, è dato da:

${\displaystyle d_{S_{n}}V_{n-1}=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}}$

e si ha

${\displaystyle d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}=dr\ d_{S_{n}}V_{n-1}.}$

Quando si parla di "volume", o più propriamente di ipervolume, di una ipersfera ${\displaystyle S_{n}}$, in realtà ci si riferisce alla misura ${\displaystyle n}$-dimensionale della corrispondente palla ${\displaystyle V_{n}}$. Invece, quando si parla di "area superficiale", o più propriamente di misura ipersuperficiale, di una ipersfera ${\displaystyle S_{n}}$, ci si riferisce alla sua misura ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale. Come misura, solitamente, si considera la misura di Lebesgue.

Chiarito ciò, si dimostra che l'ipervolume dell'ipersfera è dato da:

${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n},}$

dove ${\displaystyle \Gamma }$ denota la funzione Gamma.

Invece la misura ipersuperficiale dell'ipersfera è data da:

${\displaystyle S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}.}$

A questo punto, una volta dimostrate queste espressioni, dalle proprietà della funzione Gamma, si evince che:

${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\end{cases}}}$

${\displaystyle S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n-1}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n}{2}}-1\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n-1}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-2)}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\end{cases}}}$

(Quest'ultima formula deve essere modificata se si adopera la notazione utilizzata in topologia, vedi più avanti.)

Osserviamo che risulta

${\displaystyle \int _{R^{n}}e^{-{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}-\cdots -{x_{n}}^{2}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{1}}^{2}}dx_{1}\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{2}}^{2}}dx_{2}\right)\cdots \left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{n}}^{2}}dx_{n}\right)=\pi ^{\frac {n}{2}}}$

poiché si tratta del prodotto di n integrali di Gauss.

D'altra parte, ricordando l'equazione dell'ipersfera in coordinate cartesiane, se l'ipersfera è centrata nell'origine il suo raggio è dato da

${\displaystyle r={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}}}}$

e, inoltre, l'integrale esteso a tutto lo spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi che si hanno nelle corone ipersferiche di spessore infinitesimo ${\displaystyle dr}$ centrate nell'origine, cioè

${\displaystyle \int _{R^{n}}e^{-{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}-\cdots -{x_{n}}^{2}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}S_{n}(r)dr}$

Dalle due identità, otteniamo

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}S_{n}(r)dr=\pi ^{\frac {n}{2}}}$

Notiamo adesso che la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio r è in relazione con la misura dell'ipersuperficie di un'ipersfera di raggio unitario nel seguente modo:

${\displaystyle S_{n}(r)=S_{n}(1)r^{n-1}}$

Allora dall'identità precedente abbiamo

${\displaystyle \pi ^{\frac {n}{2}}=S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}r^{n-1}dr}$

In questo integrale, operiamo la sostituzione

${\displaystyle r={\sqrt {t}}}$

da cui

${\displaystyle dr={\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}dt}$

Così facendo, otteniamo

${\displaystyle \pi ^{\frac {n}{2}}=S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}\left({\sqrt {t}}\right)^{n-1}{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}dt={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}\left({\sqrt {t}}\right)^{n-2}dt={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}t^{{\frac {n}{2}}-1}dt}$

Nell'ultimo integrale si riconosce facilmente la definizione della funzione Gamma, quindi si ha

${\displaystyle \pi ^{\frac {n}{2}}={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\cdot \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}$

ossia

${\displaystyle S_{n}(1)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$

da cui

${\displaystyle S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}.}$

È facile comprendere che l'ipervolume ${\displaystyle n}$-dimensionale di un'ipersfera, come funzione ${\displaystyle V_{n}(r)}$ del raggio ${\displaystyle r}$, è una primitiva della misura ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale ${\displaystyle S_{n}(r)}$ dell'ipersuperficie. Infatti l'ipervolume può essere scritto come l'integrale ottenuto sommando tutti i contributi dati dagli ipervolumi delle corone ipersferiche di spessore infinitesimo ${\displaystyle dr}$ centrate nell'origine, cioè

${\displaystyle V_{n}(r)=\int _{V_{n}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int _{0}^{r}S_{n}(r')dr'}$

Alternativamente, ciò si ottiene anche dalla formula di Minkowski-Steiner, in virtù della quale risulta

${\displaystyle S_{n}(r)={\frac {d}{dr}}V_{n}(r)}$

Dunque

${\displaystyle V_{n}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}{\left(r'\right)}^{n-1}dr'={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{n\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}.}$

Allo stesso risultato si può addivenire con tecniche classiche molto utili per imparare a ragionare in spazi n-dimensionali ed a sporcarsi le mani con integrali e manipolazioni. Prendiamo in considerazione una ipersfera in ${\displaystyle I\!\!R^{n}}$centrata nell'origine di raggio ${\displaystyle r}$ ed uno degli assi che identifichiamo con ${\displaystyle x}$. Per ogni punto di tale asse compreso nell'intervallo ${\displaystyle [-r,r]\subset I\!\!R}$ facciamo passare un iperpiano perpendicolare ad ${\displaystyle x}$. L'intersezione di questo iperpiano con la nostra ipersfera è un ipercerchio, cioè un ipersfera di dimensione ${\displaystyle n-1}$, il cui raggio è ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-x^{2}\,}}}$. Possiamo, dunque, scrivere il volume della ipersfera come l'integrale da ${\displaystyle -r}$ ad ${\displaystyle r}$ della misura dell'ipercerchio. Da questo integrale ricaviamo una relazione tra ${\displaystyle V_{n}(1)}$ e ${\displaystyle V_{n-1}(0)}$; essendo noto da semplici considerazioni ${\displaystyle V_{1}(0)}$ determiniamo tutti gli altri

${\displaystyle V_{n}(1)={\,V_{n}(r)\, \over r^{n}}={1 \over \,r^{n}\,}\int _{-r}^{r}{V_{n-1}\left({\sqrt {r^{2}-x^{2}\,}}\right)}dx={1 \over \,r^{n}\,}\int _{-r}^{r}{V_{n-1}(1)\,\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}\,}}\right]^{n-1}}dx={\,V_{n-1}(1)\, \over r^{n}}\int _{-r}^{r}r^{n-1}\left[{\sqrt {1-\left({x \over \,r\,}\right)^{2}\,}}\right]^{n-1}dx}$

operiamo la sostituzione ${\displaystyle \quad x=r\,\operatorname {sen}(\vartheta )\quad \Rightarrow \quad dx=r\,\cos(\vartheta )d\vartheta }$

${\displaystyle V_{n}(1)={\,V_{n-1}(1)\, \over r^{n}}\int _{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}r^{n-1}\left[{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}(\vartheta )}}\right]^{n-1}r\,\cos(\vartheta )\,d\vartheta =V_{n-1}(1)\int _{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}\cos ^{n}(\vartheta )\,d\vartheta =C_{n}\,V_{n-1}(1)}$

avendo definito ${\displaystyle C_{n}=\int _{-\pi \over 2}^{\pi \over 2}\cos ^{n}(\vartheta )\,d\vartheta =\,...\,={\,(n-1)!!\, \over n!!}\,\sigma _{n}\qquad {\text{e}}\qquad \sigma _{n}={\begin{cases}\pi &{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\2&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}}$ Pertanto ${\displaystyle V_{n}(1)=V_{n-1}(1)\,{\,(n-1)!!\, \over n!!}\,\sigma _{n}}$ ${\displaystyle V_{1}(1)=2=\sigma _{1}}$ (in questo caso la ipersfera centrata nell'origine di raggio ${\displaystyle r}$ è semplicemente il segmento da ${\displaystyle -r}$ ad ${\displaystyle r}$ la cui lunghezza è ${\displaystyle 2r}$) ${\displaystyle V_{2}(1)=V_{1}(1)\,{1!! \over \,2!!\,}\,\sigma _{2}={1 \over \,2!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}=\pi }$

${\displaystyle V_{3}(1)=V_{2}(1)\,{2!! \over \,3!!\,}\,\sigma _{3}={1 \over \,2!!\,}\,{2!! \over \,3!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}={1 \over \,3!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}={\,4\, \over 3}\,\pi }$

${\displaystyle V_{4}(1)=V_{3}(1)\,{3!! \over \,4!!\,}\,\sigma _{4}={1 \over \,3!!\,}\,{3!! \over \,4!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{4}={1 \over \,4!!\,}\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,\sigma _{3}\,\sigma _{4}={\,1\, \over 2}\,\pi ^{2}}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle V_{n}(1)={\,\sigma _{1}\,\sigma _{2}\,...\quad ...\,\sigma _{n}\, \over n!!}}$

Ricordando la definizione di ${\displaystyle \sigma _{n}}$ e che ${\displaystyle n!!={\begin{cases}2^{n \over 2}\,\left(\displaystyle {\,n\, \over 2}\right)!&{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\\\\displaystyle {n! \over \,2^{n-1 \over 2}\left(\displaystyle {\,n-1\, \over 2}\right)!\,}&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}}$ ${\displaystyle V_{n}(1)={\begin{cases}{\displaystyle {2^{n \over 2}\,\pi ^{n \over 2}} \over \,\,\displaystyle {2^{n \over 2}\,\left({\,n\, \over 2}\right)!\,}}&{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\\\{\displaystyle 2^{n+1 \over 2}\,\,\pi ^{n-1 \over 2} \over \quad {\displaystyle n! \over \,\,\,\displaystyle 2^{n-1 \over 2}\left({\,n-1\, \over 2}\right)!\,\,\,}\quad }&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}}$${\displaystyle \qquad \Rightarrow \qquad V_{n}(1)={\begin{cases}{\displaystyle {\pi ^{n \over 2}} \over \,\displaystyle {\left({\,n\, \over 2}\right)!\,}}&{\text{se}}\quad n\in {\text{PARI}}\subset I\!\!N\\\\{\displaystyle \,\,\,2^{n}\,\,\pi ^{n-1 \over 2}\,\left({\,n-1\, \over 2}\right)!\,\,\, \over \displaystyle n!}&{\text{se}}\quad n\in {\text{DISPARI}}\subset I\!\!N\end{cases}}}$

Numero di dimensioni n	Ipervolume ${\displaystyle V_{n}(r)}$	Misura ipersuperficiale ${\displaystyle S_{n}(r)}$	Valore numerico ${\displaystyle V_{n}(1)}$	Valore numerico ${\displaystyle S_{n}(1)}$
1	${\displaystyle 2r}$	${\displaystyle 2}$	2,000.000.000	2,000.000.000
2	${\displaystyle \pi r^{2}}$	${\displaystyle 2\pi r}$	3,141.592.654	6,283.185.307
3	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$	${\displaystyle 4\pi r^{2}}$	4,188.790.205	12,566.370.614
4	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}}$	${\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}}$	4,934.802.201	19,739.208.802
5	${\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}}$	${\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}}$	5,263.789.014	26,318.945.070
6	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}}$	${\displaystyle \pi ^{3}r^{5}}$	5,167.712.780	31,006.276.680
7	${\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}}$	${\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}}$	4,724.765.970	33,073.361.792
8	${\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}}$	4,058.712.126	32,469.697.011
9	${\displaystyle {\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}}$	${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}}$	3,298.508.903	29,686.580.125
10	${\displaystyle {\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}}$	2,550.164.040	25,501.640.399
11	${\displaystyle {\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}}$	${\displaystyle {\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}}$	1,884.103.879	20,725.142.673
12	${\displaystyle {\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}}$	${\displaystyle {\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}}$	1,335.262.769	16,023.153.226
13	${\displaystyle {\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}}$	${\displaystyle {\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}}$	0,910.628.755	11,838.173.812
14	${\displaystyle {\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}}$	${\displaystyle {\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}}$	0,599.264.529	8,389.703.410
15	${\displaystyle {\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}}$	${\displaystyle {\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}}$	0,381.443.281	5,721.649.212
16	${\displaystyle {\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}}$	0,235.330.630	3,765.290.086
17	${\displaystyle {\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}}$	${\displaystyle {\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}}$	0,140.981.107	2,396.678.818
18	${\displaystyle {\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}}$	${\displaystyle {\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}}$	0,082.145.887	1,478.625.959
19	${\displaystyle {\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}}$	${\displaystyle {\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}}$	0,046.621.601	0,885.810.420
20	${\displaystyle {\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}}$	${\displaystyle {\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}}$	0,025.806.891	0,516.137.828

(La tabella vista poc'anzi deve essere modificata se si adopera la notazione utilizzata in topologia, vedi più avanti.)

Come si può notare, in entrambe le espressioni viste in precedenza per ${\displaystyle V_{n}(r)}$ e per ${\displaystyle S_{n}(r)}$, l'esponente di ${\displaystyle \pi }$ aumenta di una unità ogni volta che il numero di dimensioni aumenta di due unità, passando al numero pari successivo.

È anche interessante notare come, al tendere del numero di dimensioni ad infinito, ipervolume e misura ipersuperficiale tendano a zero indipendentemente dal raggio:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }V_{n}(r)=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}(r)=0{\text{ , }}\forall r>0}$

Nota Bene: Ciò non va interpretato pensando che, al crescere del numero ${\displaystyle n}$ di dimensioni, l'ipersfera tenda a non occupare ipervolume, ma va semplicemente interpretato dicendo che il rapporto tra il suo ipervolume e quello dell'ipercubo ${\displaystyle n}$-dimensionale di lato unitario tende a zero. La spiegazione geometrica è che, fissato il raggio di una ipersfera e fissata la lunghezza del lato di un ipercubo, al crescere del numero di dimensioni, mentre il diametro dell'ipersfera resta costante, la diagonale dell'ipercubo cresce proporzionalmente a ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.

Quindi, fissato il raggio ${\displaystyle r}$, le funzioni ${\displaystyle V_{n}(r)}$ ed ${\displaystyle S_{n}(r)}$, al crescere del numero ${\displaystyle n}$ di dimensioni, prima raggiungono un valore massimo e poi decrescono indefinitamente. In particolare, nel caso dell'ipersfera di raggio unitario ${\displaystyle r=1}$,

• l'ipervolume ${\displaystyle V_{n}(1)}$ raggiunge il suo valore massimo per ${\displaystyle n=5}$ dimensioni, mentre
• la misura ipersuperficiale ${\displaystyle S_{n}(1)}$ raggiunge il suo valore massimo per ${\displaystyle n=7}$ dimensioni, nel qual caso l'ipersuperficie è una varietà ${\displaystyle 6}$-dimensionale.

Un'altra considerazione particolare è la seguente: consideriamo due ipersfere nello spazio ${\displaystyle n}$-dimensionale, delle quali una di raggio ${\displaystyle r}$ e l'altra di raggio minore ${\displaystyle (1-\varepsilon )r}$, essendo ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$. Il rapporto tra i due ipervolumi

${\displaystyle {\frac {V_{n}((1-\varepsilon )r)}{V_{n}(r)}}=(1-\varepsilon )^{n},}$

fissato ${\displaystyle r}$, tende comunque a ${\displaystyle 0}$, al crescere del numero ${\displaystyle n}$ di dimensioni, qualunque sia il valore (anche molto piccolo) scelto per ${\displaystyle \varepsilon }$, poiché ${\displaystyle 1-\varepsilon <1}$. Ciò si interpreta dicendo che, al crescere del numero di dimensioni, la maggior parte dell'ipervolume racchiuso nell'ipersfera tende a concentrarsi in prossimità dell'ipersuperficie. La stessa considerazione vale anche per altre figure geometriche ${\displaystyle n}$-dimensionali.

Notiamo, infine, che la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale può essere riscritta anche nel modo seguente:

${\displaystyle V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n}(r')dr'=S_{n}(r)\cdot {\frac {r}{n}}}$

Questa identità può essere interpretata come una generalizzazione al caso ${\displaystyle n}$-dimensionale della dimostrazione tramite infinitesimi che si applica per il volume della sfera ordinaria, considerando l'ipersfera come l'unione di infinite iperpiramidi ${\displaystyle n}$-dimensionali infinitesime aventi ciascuna il vertice nel centro dell'ipersfera e la base ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale che poggia sull'ipersuperficie; queste infinite iperpiramidi elementari riempiono tutto e solo l'ipervolume dell'ipersfera e l'ipervolume di ogni iperpiramide è:

${\displaystyle {\frac {{\mbox{misura ipersuperficiale di base}}\cdot {\mbox{altezza}}}{n}}}$

L'ipervolume della sfera unitaria ${\displaystyle V_{n}(1)}$ può essere calcolato anche mediante l'${\displaystyle n}$-esimo coefficiente nell'espansione di Taylor della funzione

${\displaystyle f(x)=e^{\pi x^{2}}(1+\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})),}$

dove

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}$

è la funzione degli errori. In particolare

${\displaystyle V_{n}(1)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}},\quad S_{n}(1)={\frac {f^{(n)}(0)}{(n-1)!}}}$

dove stiamo includendo anche le definizioni ${\displaystyle V_{0}(1):=1}$ (la cardinalità di un insieme composto da un singolo punto: la palla unitaria in dimensione 0) e ${\displaystyle V_{1}(1):=2}$ (la lunghezza del segmento ${\displaystyle (-1,1)}$: la palla unitaria in dimensione 1).

Infatti, posta ${\displaystyle B_{n}}$ la palla unitaria, applicando la formula di coarea riusciamo a scrivere (per ogni ${\displaystyle n\geq 1}$)

${\displaystyle V_{n}(1)=\int _{B_{n}}1dx_{1}\ldots dx_{n}=V_{n-1}(1)\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\frac {n-1}{2}}dt.}$

Pertanto, sfruttando la convergenza totale della serie su ogni sottoinsieme chiuso e limitato di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, scriviamo

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(1)x^{n}&=\sum _{k=0}^{+\infty }V_{2k}(1)x^{2k}+\sum _{k=0}^{+\infty }V_{2k+1}(1)x^{2k+1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {\pi ^{k}x^{2k}}{k!}}+x\sum _{k=0}^{+\infty }V_{2k}(1)\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{k}x^{2k}dt\\&=e^{\pi x^{2}}+x\int _{-1}^{1}\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {\pi ^{k}(1-t^{2})^{k}x^{2k}}{k!}}dt=e^{\pi x^{2}}+x\int _{-1}^{1}e^{\pi (1-t^{2})x^{2}}dt\\&=e^{\pi x^{2}}+e^{\pi x^{2}}2x\int _{0}^{1}e^{-\pi t^{2}x^{2}}dt=e^{\pi x^{2}}+e^{\pi x^{2}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x{\sqrt {\pi }}}e^{-t^{2}}dt\\&=e^{\pi x^{2}}+e^{\pi x^{2}}\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})=e^{\pi x^{2}}(1+\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})).\end{aligned}}}$

Osservando inoltre che ${\displaystyle V_{n}(1)x^{n}=V_{n}(x)}$ si può riscrivere la somma come

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(x)=e^{\pi x^{2}}(1+\mathrm {erf} (x{\sqrt {\pi }})).}$

Infine, ponendo ${\displaystyle x=1}$, si ottiene

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(1)=e^{\pi }(1+\mathrm {erf} ({\sqrt {\pi }}))\approx 45,999326.}$

I cosiddetti paradossi delle ipersfere, impropriamente definiti tali, sono, in realtà, solo particolari proprietà geometriche degli spazi euclidei con numero di dimensioni elevato, in particolare, con numero di dimensioni maggiore di ${\displaystyle 9}$; l'appellativo di "paradossi" è dovuto al carattere apparentemente antiintuitivo di tali proprietà geometriche, se si opera un confronto con ciò che accade nello spazio ${\displaystyle 3}$-dimensionale ordinario. Su alcuni testi sono indicati come paradossi di Moser^[1], essendo stati probabilmente scoperti dal matematico austriaco naturalizzato canadese Leo Moser^[2].

Nel piano, cioè nello spazio euclideo a ${\displaystyle n=2}$ dimensioni, ${\displaystyle 2^{2}=4}$ cerchi di raggio ${\displaystyle r}$ possono essere inseriti all'interno di un quadrato di lato ${\displaystyle 4r}$, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti ai lati del quadrato; tali cerchi si ottengono dividendo il quadrato di partenza in ${\displaystyle 2^{2}=4}$ quadrati più piccoli di lato ${\displaystyle 2r}$ e considerando i cerchi iscritti in questi quadrati più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del quadrato di partenza, c'è ancora spazio per inserire un cerchio più piccolo di raggio ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)r}$.

Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a ${\displaystyle n=3}$ dimensioni, ${\displaystyle 2^{3}=8}$ sfere possono essere inserite all'interno di un cubo di lato ${\displaystyle 4r}$, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle facce del cubo; tali sfere si ottengono dividendo il cubo di partenza in ${\displaystyle 2^{3}=8}$ cubi più piccoli di lato ${\displaystyle 2r}$ e considerando le sfere iscritte in questi cubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del cubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire una sfera più piccola di raggio ${\displaystyle ({\sqrt {3}}-1)r}$.

Analogamente, nello spazio euclideo a ${\displaystyle n=4}$ dimensioni, ${\displaystyle 2^{4}=16}$ ipersfere ${\displaystyle 4}$-dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo ${\displaystyle 4}$-dimensionale di lato ${\displaystyle 4r}$, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce ${\displaystyle 3}$-dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere ${\displaystyle 4}$-dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo ${\displaystyle 4}$-dimensionale di partenza in ${\displaystyle 2^{4}=16}$ ipercubi ${\displaystyle 4}$-dimensionali più piccoli di lato ${\displaystyle 2r}$ e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio ${\displaystyle ({\sqrt {4}}-1)r=r}$, la quale, quindi, ha lo stesso raggio e non è più piccola delle altre.

In generale, nello spazio euclideo a ${\displaystyle n}$ dimensioni, ${\displaystyle 2^{n}}$ ipersfere ${\displaystyle n}$-dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo ${\displaystyle n}$-dimensionale di lato ${\displaystyle 4r}$, in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere ${\displaystyle n}$-dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo ${\displaystyle n}$-dimensionale di partenza in ${\displaystyle 2^{n}}$ ipercubi ${\displaystyle n}$-dimensionali più piccoli di lato ${\displaystyle 2r}$ e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio ${\displaystyle ({\sqrt {n}}-1)r}$.

È evidente che, a partire da ${\displaystyle n=5}$ dimensioni, l'ipersfera centrale diventa più grande, cioè ha raggio maggiore, rispetto alle altre ${\displaystyle 2^{n}}$ ipersfere.

A ${\displaystyle n=9}$ dimensioni, poi, l'ipersfera centrale ha raggio ${\displaystyle ({\sqrt {9}}-1)r=2r}$, quindi ha diametro ${\displaystyle 4r}$ uguale al lato dell'ipercubo che contiene tutte le ipersfere considerate, pertanto diviene tangente alle iperfacce ${\displaystyle 8}$-dimensionali di tale ipercubo; ciò nonostante, all'interno dell'ipercubo, in corrispondenza dei vertici, c'è ancora spazio per le altre ${\displaystyle 2^{9}=512}$ ipersfere.

È evidente che, a partire da ${\displaystyle n=10}$ dimensioni, l'ipersfera centrale non può più entrare nell'ipercubo considerato, poiché ha diametro maggiore di ${\displaystyle 4r}$ e, pertanto, sporge all'esterno.

Nel piano, cioè nello spazio euclideo a ${\displaystyle n=2}$ dimensioni, consideriamo una scacchiera, costituita da quadrati di lato ${\displaystyle l}$. Un cerchio circoscritto a ciascun quadrato della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del quadrato, ossia ${\displaystyle l{\sqrt {2}}}$, pertanto occupa parte dei quadrati adiacenti.

Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a ${\displaystyle n=3}$ dimensioni, consideriamo una scacchiera ${\displaystyle 3}$-dimensionale, costituita da cubi di lato ${\displaystyle l}$. Una sfera circoscritta a ciascun cubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del cubo, ossia ${\displaystyle l{\sqrt {3}}}$, pertanto occupa parte dei cubi adiacenti.

In generale, nello spazio euclideo a ${\displaystyle n}$ dimensioni, consideriamo una scacchiera ${\displaystyle n}$-dimensionale, costituita da ipercubi ${\displaystyle n}$-dimensionali di lato ${\displaystyle l}$. Un'ipersfera ${\displaystyle n}$-dimensionale circoscritta a ciascun ipercubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale dell'ipercubo, ossia ${\displaystyle l{\sqrt {n}}}$, pertanto occupa parte degli ipercubi adiacenti.

A ${\displaystyle n=9}$ dimensioni, l'ipersfera circoscritta a ciascun ipercubo ha diametro uguale a ${\displaystyle l{\sqrt {9}}=3l}$, pertanto essa passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, è anche tangente alle iperfacce degli ipercubi adiacenti, le quali si trovano dalla parte opposta rispetto alle iperfacce in comune con l'ipercubo a cui è circoscritta l'ipersfera.

È evidente che, a partire da ${\displaystyle n=10}$ dimensioni, l'ipersfera passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, sporge all'esterno degli ipercubi adiacenti.

Un altro fenomeno particolare accade già a partire da ${\displaystyle n=4}$ dimensioni: in tal caso, ogni ipersfera circoscritta ha raggio uguale o maggiore di ${\displaystyle l{\sqrt {4}}=2l}$, pertanto include anche i centri degli ipercubi adiacenti. Si comprende allora che, dato un qualunque ipercubo della scacchiera ${\displaystyle n}$-dimensionale, esso risulta completamente occupato da tutte le ipersfere circoscritte agli ipercubi adiacenti; invece, in una scacchiera ${\displaystyle 2}$-dimensionale o ${\displaystyle 3}$-dimensionale, un qualunque quadrato o cubo non viene completamente occupato da tutti i cerchi circoscritti o da tutte le sfere circoscritte ai quadrati o ai cubi adiacenti.

Come accennato in precedenza, in topologia, l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale, che hanno distanza ${\displaystyle r}$ da un dato punto fissato ${\displaystyle P}$, essendo una varietà ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale, è indicata con ${\displaystyle S_{n-1}}$ invece che ${\displaystyle S_{n}}$, cioè si pone

${\displaystyle S_{n-1}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}}$

In alternativa, si può porre

${\displaystyle S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x-P\right\|=r\right\}}$

ossia si può considerare l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo ${\displaystyle (n+1)}$-dimensionale, che hanno distanza ${\displaystyle r}$ da un dato punto fissato ${\displaystyle P}$, la quale è una varietà ${\displaystyle n}$-dimensionale.

In topologia, la varietà ${\displaystyle n}$-dimensionale ${\displaystyle S_{n}}$ così definita prende anche il nome di ${\displaystyle n}$-sfera.

Con tale convenzione, si ha, per esempio, che:

• l'${\displaystyle 1}$-sfera ${\displaystyle S_{1}}$ è una circonferenza
• la ${\displaystyle 2}$-sfera ${\displaystyle S_{2}}$ è una superficie sferica ordinaria
• la ${\displaystyle 3}$-sfera ${\displaystyle S_{3}}$ è un'ipersuperficie ${\displaystyle 3}$-dimensionale che rappresenta la frontiera di una palla ${\displaystyle 4}$-dimensionale.

Con la notazione utilizzata in topologia, la formula che esprime la misura ipersuperficiale si ottiene da quella vista in precedenza sostituendo ${\displaystyle n}$ con ${\displaystyle (n+1)}$, cioè

${\displaystyle S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}r^{n}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\\{\frac {2^{{\frac {n}{2}}+1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\end{cases}}}$

Applicando questa formula, si ottiene, per esempio, che:

• la misura ${\displaystyle 1}$-dimensionale di una ${\displaystyle 1}$-sfera, ossia la lunghezza di una circonferenza, è ${\displaystyle 2\pi r}$;
• la misura ${\displaystyle 2}$-dimensionale di una ${\displaystyle 2}$-sfera, ossia l'area di una superficie sferica ordinaria, è ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$;
• la misura ${\displaystyle 3}$-dimensionale di una ${\displaystyle 3}$-sfera, ossia il volume di un'ipersuperficie ipersferica ${\displaystyle 3}$-dimensionale, è ${\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}}$.

e la tabella vista in precedenza deve essere modificata nel seguente modo:

Numero di dimensioni n	Misura dell'${\displaystyle n}$-sfera ${\displaystyle S_{n}(r)}$	Ipervolume racchiuso ${\displaystyle V_{n+1}(r)}$	Valore numerico ${\displaystyle S_{n}(1)}$	Valore numerico ${\displaystyle V_{n+1}(1)}$
1	${\displaystyle 2\pi r}$	${\displaystyle \pi r^{2}}$	6,283.185.307	3,141.592.654
2	${\displaystyle 4\pi r^{2}}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$	12,566.370.614	4,188.790.205
3	${\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}}$	19,739.208.802	4,934.802.201
4	${\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}}$	${\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}}$	26,318.945.070	5,263.789.014
5	${\displaystyle \pi ^{3}r^{5}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}}$	31,006.276.680	5,167.712.780
6	${\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}}$	${\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}}$	33,073.361.792	4,724.765.970
7	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}}$	32,469.697.011	4,058.712.126
8	${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}}$	${\displaystyle {\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}}$	29,686.580.125	3,298.508.903
9	${\displaystyle {\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}}$	${\displaystyle {\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}}$	25,501.640.399	2,550.164.040
10	${\displaystyle {\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}}$	${\displaystyle {\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}}$	20,725.142.673	1,884.103.879
11	${\displaystyle {\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}}$	${\displaystyle {\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}}$	16,023.153.226	1,335.262.769
12	${\displaystyle {\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}}$	${\displaystyle {\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}}$	11,838.173.812	0,910.628.755
13	${\displaystyle {\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}}$	${\displaystyle {\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}}$	8,389.703.410	0,599.264.529
14	${\displaystyle {\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}}$	${\displaystyle {\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}}$	5,721.649.212	0,381.443.281
15	${\displaystyle {\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}}$	${\displaystyle {\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}}$	3,765.290.086	0,235.330.630
16	${\displaystyle {\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}}$	${\displaystyle {\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}}$	2,396.678.818	0,140.981.107
17	${\displaystyle {\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}}$	${\displaystyle {\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}}$	1,478.625.959	0,082.145.887
18	${\displaystyle {\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}}$	${\displaystyle {\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}}$	0,885.810.420	0,046.621.601
19	${\displaystyle {\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}}$	0,516.137.828	0,025.806.891
20	${\displaystyle {\frac {2.048}{654.729.075}}\pi ^{10}r^{20}}$	${\displaystyle {\frac {2.048}{13.749.310.575}}\pi ^{10}r^{21}}$	0,292.932.159	0,0139.491.504

Evidentemente, con questa notazione,

• la misura ipersuperficiale ${\displaystyle S_{n}(1)}$ raggiunge il suo valore massimo per ${\displaystyle n=6}$ dimensioni, corrispondente al caso della ${\displaystyle 6}$-sfera.

Inoltre, con la stessa notazione, la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale si scrive:

${\displaystyle V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n-1}(r')dr'=S_{n-1}(r)\cdot {\frac {r}{n}}}$

• Franco Eugeni e Franco Mancinelli, Sull'ipervolume della ipersfera, in Atti del Convegno "La metodologia storica nell'insegnamento della matematica e della fisica", Atti Convegno Mathesis, Ripattoni di Bellante, 1998.
• Martin Gardner, Sfere e ipersfere, in Circo matematico: una nuova serie di enigmi e giochi matematici, traduzione di Silvia Bemporad, Firenze, Sansoni, 1981, pp. 31-46, SBN IT\ICCU\SBL\0627773. (in particolare si legga pp. 42-45 sui paradossi delle ipersfere).
• (EN) Richard Wesley Hamming, 9: A Paradox, in Coding and Information theory, 2ª ed., Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1980, pp. 164-169, ISBN 0-13-139139-9.

• Palla (matematica)
• Sfera
• Sfera unitaria
• 3-sfera
• Formula di Minkowski-Steiner
• Costante di Gel'fond
• Ipercubo

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su ipersfera

• (EN) Eric W. Weisstein, Ipersfera, su MathWorld, Wolfram Research.
• Giuseppe Cinà, Volume dell'ipersfera, su Basso Ostinato, cioè Italiano, 22 dicembre 2017.

Controllo di autorità	GND (DE) 4182221-3