Lemma di Lax-Milgram

Il lemma di Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale con rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni alle derivate parziali ed è fondamentale in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti. Il punto di partenza è la formulazione debole del problema alle derivate parziali.

Nel 1971 Ivo Babuška fornì una generalizzazione del teorema, il teorema di Babuška-Lax-Milgram.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio di Hilbert con norma ${\displaystyle \|\cdot \|}$, sia ${\displaystyle b(u,v)}$ una forma bilineare su ${\displaystyle V}$ e sia ${\displaystyle F}$ un funzionale lineare e continuo che opera su elementi di ${\displaystyle V}$ (ossia un elemento del duale ${\displaystyle V^{*}}$ di ${\displaystyle V}$); si voglia trovare ${\displaystyle u\in V}$ soluzione del problema variazionale:

${\displaystyle b(u,v)=\langle F,v\rangle ,\qquad \forall v\in V,}$

dove ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ rappresenta la dualità fra ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle V^{*}}$. Se la forma bilineare è continua, ossia esiste una costante ${\displaystyle C}$ positiva tale che:

${\displaystyle |b(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|,\qquad \forall u,v\in V,}$

ed è inoltre coerciva o ellittica, ossia esiste ${\displaystyle \alpha }$ positiva tale che:

${\displaystyle b(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2},\qquad \forall v\in V,}$

allora il problema variazionale ammette un'unica soluzione.^[1] Si noti come non sia necessaria l'ipotesi che la forma bilineare sia simmetrica. Il lemma di Lax-Milgram fornisce inoltre una stima di stabilità per la soluzione ${\displaystyle u}$:

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|F\|_{V^{*}}}{\alpha }}.}$

• S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1
• Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5.
• (EN) Ralph E. Showalter, Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations, Mathematical Surveys and Monographs 49, Providence, RI, American Mathematical Society, 1997, pp. xiv+278, ISBN 0-8218-0500-2. (chapter III)

• Metodo degli elementi finiti
• Metodo di Galërkin
• Teorema di Babuška-Lax-Milgram

• (EN) Encyclopedia of Mathematics, Lax-Milgram lemma, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) MathWorld page on Lax-Milgram theorem, su mathworld.wolfram.com.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica