In matematica, il lemma di Yoneda è un risultato fondamentale nella teoria delle categorie. Nella sua forma più debole afferma che ogni categoria può essere considerata come una sottocategoria dei funtori contravarianti da essa alla categoria degli insiemi.[1]
Indice
1Definizioni
2Enunciato
3Dimostrazione
4Note
Definizioni
Sia una categoria, e sia la categoria degli insiemi. La categoria di prefasci su a valori in è la categoria di funtori contravarianti da agli insiemi. Dati due funtori l'insieme di morfismi da a è l'insieme di trasformazioni naturali da a .
Fissato un oggetto , di particolare rilievo è il funtore
che mappa un oggetto all'insieme . Per ogni morfismo il funtore associa un morfismo al morfismo dato da .
Enunciato
Il lemma di Yoneda asserisce il fatto seguente:
Vi è una corrispondenza biunivoca .
Un caso particolare è quello dove ; in tal caso, il lemma di Yoneda afferma che la categoria è una sottocategoria di tramite il funtore .
Dimostrazione
La dimostrazione del lemma di Yoneda è contenuta nel seguente diagramma commutativo:
Note
^ Fantechi, Barbara, 1966-, Fundamental algebraic geometry : Grothendieck's FGA explained, American Mathematical Society, 2005, ISBN 0821835416, OCLC 61362228. URL consultato il 7 ottobre 2018.
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