Modulo libero

In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se ${\displaystyle A}$ è un anello, un ${\displaystyle A}$-modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli ${\displaystyle A}$-moduli.

Sia ${\displaystyle A}$ un anello e ${\displaystyle M}$ un modulo su ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle M}$ è libero se esiste un insieme ${\displaystyle E}$ di elementi di ${\displaystyle M}$ tali che:

• ${\displaystyle E}$ genera ${\displaystyle M}$: ogni elemento di ${\displaystyle M}$ può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di ${\displaystyle E}$, ossia per ogni ${\displaystyle m}$ in ${\displaystyle M}$ esistono ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$ ed ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in E}$ tali che ${\displaystyle m=a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}}$;
• ${\displaystyle E}$ è linearmente indipendente: se esistono ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$ ed ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in E}$ tali che ${\displaystyle a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}=0}$, allora tutti gli ${\displaystyle a_{i}}$ sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio si può prendere ${\displaystyle E=M}$ stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-modulo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ delle classi di resto modulo ${\displaystyle n}$.

Se ${\displaystyle A}$ è un campo, gli ${\displaystyle A}$-moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli ${\displaystyle A}$-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli ${\displaystyle A}$-moduli sono liberi, e ${\displaystyle A}$ è commutativo, allora ${\displaystyle A}$ è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, ${\displaystyle A}$ deve essere un corpo.

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento ${\displaystyle m}$ come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di ${\displaystyle A}$.

Un particolare modulo libero è l'anello ${\displaystyle A}$ stesso. Se ${\displaystyle A}$ è unitario, ha ${\displaystyle \{1_{A}\}}$ come base (è quindi anche ciclico).

Se ${\displaystyle M}$ è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi^[1] e per tutti gli anelli noetheriani;^[2] in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero.

Si può caratterizzare "il" modulo libero generato da un insieme ${\displaystyle S}$ (unico a meno di isomorfismo unico) tramite una proprietà universale. Dato un insieme ${\displaystyle S}$, un ${\displaystyle A}$-modulo libero generato da ${\displaystyle S}$ è un modulo ${\displaystyle M}$ che contiene ${\displaystyle S}$ e tale che, per ogni ${\displaystyle A}$-modulo ${\displaystyle N}$ e per ogni morfismo di insiemi ${\displaystyle f\colon S\to N}$, rimanga determinato uno e un solo omomorfismo di moduli ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ tale che ${\displaystyle \varphi |_{S}=f}$. L'omomorfismo ${\displaystyle \varphi }$ viene definito sfruttando il fatto, equivalente al fatto che ${\displaystyle M}$ sia libero su ${\displaystyle S}$, che ogni elemento di ${\displaystyle M}$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di ${\displaystyle S}$. Se ${\displaystyle m=\sum _{s\in S}a_{s}s}$, si pone ${\displaystyle \varphi (m)=\sum _{s\in S}a_{s}f(s).}$

A partire da un insieme arbitrario ${\displaystyle E}$, è possibile costruire un ${\displaystyle A}$-modulo libero che ha ${\displaystyle E}$ come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali ${\displaystyle a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}}$, per qualsiasi sottoinsieme finito ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ e qualsiasi ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori ${\displaystyle E}$ per ${\displaystyle M}$ (ad esempio ${\displaystyle E=M}$ stesso), si può formare il modulo libero su ${\displaystyle E}$, e considerare il sottomodulo ${\displaystyle N}$ generato dalle relazioni tra elementi di ${\displaystyle M}$ (ad esempio, se ${\displaystyle e+f=0}$, allora ${\displaystyle e+f}$ sarà contenuto in ${\displaystyle N}$). Il quoziente ${\displaystyle L/N}$ risulta isomorfo a ${\displaystyle M}$.

Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Al contrario, è raro che i moduli liberi siano iniettivi: ad esempio, se ${\displaystyle A}$ è commutativo e locale, ${\displaystyle A}$ stesso (considerato come ${\displaystyle A}$-modulo) può essere iniettivo solo se la sua dimensione è 0.^[3]

• (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.

• (EN) V.E. Govorov, Free module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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