Operatore unitario

In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.

Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedano tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .

Definizione

Si definisce operatore unitario un isomorfismo U : H 1 → H 2 {\displaystyle U:{\mathcal {H}}_{1}\rightarrow {\mathcal {H}}_{2}} tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:[1]

( ϕ , ψ ) = ( U ϕ , U ψ ) ∀ ϕ , ψ ∈ H 1 {\displaystyle (\phi ,\psi )=(U\phi ,U\psi )\qquad \forall \phi ,\psi \in {\mathcal {H}}_{1}}

In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:

U † U = U U † = 1 {\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=1}

dove si indica con U † {\displaystyle U^{\dagger }} l'aggiunto dell'operatore U {\displaystyle U} .

In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:

‖ U ‖ = 1 {\displaystyle \|U\|=1}

In spazi vettoriali a dimensione finita la surgettività è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.

Spettro

Lo spettro di un operatore unitario U {\displaystyle U} giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } nello spettro si ha | λ | = 1 {\displaystyle |\lambda |=1} . Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che U {\displaystyle U} è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione f ∈ L 2 ( μ ) {\displaystyle f\in L^{2}(\mu )} misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito ( X , μ ) {\displaystyle (X,\mu )} con misura di Borel μ {\displaystyle \mu } . Allora, dal momento che U U † = I {\displaystyle UU^{\dagger }=I} implica | f ( x ) | 2 = 1 {\displaystyle |f(x)|^{2}=1} quasi ovunque rispetto a μ {\displaystyle \mu } , lo spettro essenziale di f {\displaystyle f} , e dunque lo spettro di U {\displaystyle U} , è contenuto nella circonferenza unitaria.

Linearità

La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:

⟨ λ ⋅ U x − U ( λ ⋅ x ) , λ ⋅ U x − U ( λ ⋅ x ) ⟩ {\displaystyle \langle \lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux-U(\lambda \cdot x)\rangle }
= ‖ λ ⋅ U x ‖ 2 + ‖ U ( λ ⋅ x ) ‖ 2 − ⟨ U ( λ ⋅ x ) , λ ⋅ U x ⟩ − ⟨ λ ⋅ U x , U ( λ ⋅ x ) ⟩ {\displaystyle =\|\lambda \cdot Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-\langle U(\lambda \cdot x),\lambda \cdot Ux\rangle -\langle \lambda \cdot Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }
= | λ | 2 ⋅ ‖ U x ‖ 2 + ‖ U ( λ ⋅ x ) ‖ 2 − λ ¯ ⋅ ⟨ U ( λ ⋅ x ) , U x ⟩ − λ ⋅ ⟨ U x , U ( λ ⋅ x ) ⟩ {\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|Ux\|^{2}+\|U(\lambda \cdot x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle U(\lambda \cdot x),Ux\rangle -\lambda \cdot \langle Ux,U(\lambda \cdot x)\rangle }
= | λ | 2 ⋅ ‖ x ‖ 2 + ‖ λ ⋅ x ‖ 2 − λ ¯ ⋅ ⟨ λ ⋅ x , x ⟩ − λ ⋅ ⟨ x , λ ⋅ x ⟩ {\displaystyle =|\lambda |^{2}\cdot \|x\|^{2}+\|\lambda \cdot x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\cdot \langle \lambda \cdot x,x\rangle -\lambda \cdot \langle x,\lambda \cdot x\rangle }
= 0 {\displaystyle =0}

In modo analogo si ottiene:

⟨ U ( x + y ) − ( U x + U y ) , U ( x + y ) − ( U x + U y ) ⟩ = 0 {\displaystyle \langle U(x+y)-(Ux+Uy),U(x+y)-(Ux+Uy)\rangle =0}

Note

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 39.

Bibliografia

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
  • (EN) Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Springer, 1982.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Operatore unitario, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) V.I. Sobolev, Unitary operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  • (EN) V.I. Sobolev, Unitarily-equivalent operators, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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