Operatori di creazione e distruzione

In meccanica quantistica, gli operatori di creazione e distruzione sono operatori che rispettivamente aumentano o riducono di uno il numero di particelle di uno stato quantistico. L'operatore di distruzione (o di annichilazione) è l'operatore aggiunto dell'operatore di creazione.

Gli operatori di creazione e distruzione possono agire su stati di vari tipi di particelle. Sono paragonabili agli operatori scaletta dell'oscillatore armonico quantistico, che aggiungono o rimuovono un quanto di energia al sistema; in questo caso l'operatore di innalzamento è considerato di creazione. In seguito il loro uso è stato generalizzato a molti altri problemi e in generale la loro introduzione è alla base della fondazione della teoria quantistica dei campi e della seconda quantizzazione. Ne esiste anche una versione classica (in cui non sono operatori ma campi), utilizzata nello studio delle onde non lineari (in particolare in turbolenza d'onda).

Definizione

L'operatore di creazione ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ e l'operatore di annichilazione ${\displaystyle {\hat {a}}}$ possono essere definiti semplicemente sulla base della loro azione quando sono applicati su uno stato quantico. Supponiamo che ${\displaystyle |n\rangle }$ sia uno stato quantistico contenente ${\displaystyle n}$ particelle, o ${\displaystyle n}$ quanti di energia, allora possiamo assumere come definizione implicita dell'operatore di annichilazione l'espressione

${\displaystyle {\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$,

ovvero l'operatore di annichilazione applicato allo stato con n particelle, ne ha generato un altro che contiene una particella in meno. Equivalentemente, si può definire l'operatore di creazione ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ attraverso l'espressione

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$.

In questo modo dallo stato fondamentale del sistema, che possiamo - ad esempio nel caso di una teoria di campo delle particelle elementari - identificare con il vuoto, tutti gli altri stati possono essere costruiti applicando l'operatore di creazione:

${\displaystyle |n\rangle ={({\hat {a}}^{\dagger })^{n} \over {\sqrt {n!}}}|0\rangle }$

Oscillatore armonico quantistico

Lo stesso argomento in dettaglio: Oscillatore armonico quantistico.

Si comprende, quindi, la terminologia introdotta da Dirac nel caso dell'oscillatore armonico quantistico: l'operatore ${\displaystyle {\hat {a}}}$ fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n-1, esso, quindi, distrugge un quanto di energia; analogamente l'operatore ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ fa passare il sistema dallo stato di energia n allo stato di energia n+1, esso, quindi, crea un quanto di energia. Noto lo stato fondamentale, si può ottenere, per ricorrenza, tutta la base degli autostati dell'hamiltoniana e di ${\displaystyle N}$:

${\displaystyle |n\rangle ={({\hat {a}}^{\dagger })^{n} \over {\sqrt {n!}}}|0\rangle }$

Rappresentazione matriciale

Le componenti matriciali degli operatori bosonici di creazione e annichilazione per l'oscillatore armonico quantistico sono:

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a^{\dagger }=\left({\begin{array}{ccccccc}0&0&0&\dots &\dots &\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&\dots &\dots &\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&\dots &\dots &\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &0&\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n+1}}&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{array}}\right)}$

Questi valori sono stati ottenuti utilizzando le seguenti relazioni:

${\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\langle \psi _{i}|{\hat {a}}^{\dagger }|\psi _{j}\rangle }$

${\displaystyle a_{ij}=\langle \psi _{i}|{\hat {a}}|\psi _{j}\rangle }$

e

${\displaystyle {\sqrt {n}}=\langle n|{\hat {a}}^{\dagger }|n-1\rangle }$

${\displaystyle {\sqrt {n}}=\langle n-1|{\hat {a}}|n\rangle }$

Operatori di costruzione e distruzione in teoria quantistica dei campi

In teoria quantistica dei campi e nei problemi a molti corpi si lavora con operatori di creazione e distruzione di stati quantistici, ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ and ${\displaystyle a_{i}^{\,}}$. Questi operatori cambiano il valore dell'operatore numero,

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}}$,

di uno, in analogia al caso dell'oscillatore armonico. Gli indici (ad esempio ${\displaystyle i}$) rappresentano i numeri quantici che etichettano gli stati di singola particella del sistema e non sono necessariamente numeri singoli. Per esempio, una ennupla di numeri quantici ${\displaystyle (n,l,m,s)}$ viene usata per etichettare gli stati dell'atomo di idrogeno.

Le relazioni di commutazione degli operatori di creazione e distruzione in un sistema multiplo di bosoni sono,

${\displaystyle [a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,}$

dove ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ è il commutatore è ${\displaystyle \delta _{ij}}$ la delta di Kronecker.

Per i fermioni, il commutatore è sostituito dall'anticommutatore ${\displaystyle \{\ ,\ \}}$,

${\displaystyle \{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.}$

Bibliografia

• (EN) Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley ISBN 0201503972
• Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 8808178943
• (EN) Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press
• (EN) Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications, Cambridge University Press
• (EN) Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press
• (EN) C. Itzykson e J. B. Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980/Dover 2006.
• (EN) N. Bogoliubov e D. Shirkov Introduction to the theory of quantized fields Wiley-Intersceince, 1959.
• L. D. Landau, E. Lifsits, V. Berestetskij e L. Pitaevskij Fisica teorica, vol. 4: Teoria quantistica relativistica (Editori Riuniti, 1978)
• G, Mussardo,Il Modello di Ising. Introduzione alla Teoria dei Campi e delle Transizioni di Fase (Bollati-Boringhieri, 2007)
• (EN) Robin Ticciati (1999): Quantum Field Theory for Mathematicians, Cambridge University Press
• (EN) F. Mandl e G. Shaw. Quantum Field Theory. John Wiley & Sons, 1993.
• (EN) F. Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. Wiley-Interscience, 1993.

Voci correlate

• Operatore (fisica)
• Operatore scaletta
• Oscillatore armonico quantistico
• Ordinamento normale
• Quantizzazione del campo elettromagnetico
• Teoria quantistica dei campi
• Trasformazione di Bogoljubov

Collegamenti esterni

• (EN) F. J. Dyson 1951 Lectures on Advanced Quantum Mechanics Second Edition
• (EN) S. Coleman Corso di teoria dei campi, primera parte (Università Harvard)
• (EN) S. Coleman Corso di teoria dei campi, seconda parte
• (EN) W. Siegel Fields
• Appunti di Meccanica Quantistica Relativistica (Università di Roma 1, La Sapienza)
• Elettrodinamica Quantistica (Università di Roma 1, La Sapienza)
• Teorie di Gauge (Università di Roma 1, La Sapienza)
• G. Longhi Teoria Quantistica dei Campi con il formalismo di Wightman Archiviato il 17 aprile 2012 in Internet Archive. (Università di Firenze)

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