Relazione transitiva

In matematica una relazione binaria R in un insieme X è transitiva se e solo se per ogni a, b, c appartenenti a X, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora a è in relazione con c. In simboli:

∀ a , b , c ∈ X ,   a R b ∧ b R c ⇒ a R c {\displaystyle \forall a,b,c\in X,\ aRb\land bRc\;\Rightarrow aRc}

Per esempio, "è maggiore di" e "è uguale a" sono relazioni transitive: se a = b e b = c, allora a = c.

Non è invece transitiva la relazione "è perpendicolare a": se la retta A è perpendicolare alla retta B, e la retta B è perpendicolare alla retta C allora la retta A non è perpendicolare alla retta C.

Altri esempi di relazioni transitive sono:

  • "è uguale a" (uguaglianza): se a = b e b = c, allora a = c
  • "è un sottoinsieme di"
  • "è minore di", "è minore od uguale a" (disuguaglianza)
  • "divide" (divisibilità)
  • "è parallela a" fra le rette di un piano

Una relazione transitiva che è anche riflessiva è un preordine. Un preordine che è anche antisimmetrico è una relazione d'ordine debole (o relazione d'ordine parziale, in inglese poset). Un preordine simmetrico è una relazione d'equivalenza.

Una relazione binaria si dice invece intransitiva (o antitransitiva) se e solo se per ogni a, b, c appartenenti ad X se a è in relazione con b e b è in relazione con c allora a non è in relazione con c. In simboli:

∀ a , b , c ∈ X ,   a R b ∧ b R c ⇒ ¬ ( a R c ) {\displaystyle \forall a,b,c\in X,\ aRb\land bRc\;\Rightarrow \lnot (aRc)}

La relazione "è perpendicolare a", vista sopra, si può considerare intransitiva.

Si noti che intransitivo non è sinonimo di non transitivo, esistono delle relazioni che non sono né transitive né intransitive.

Bibliografia

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • Ralph Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, ISBN 0-201-19912-2.
  • Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) transitive law, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Relazione transitiva, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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