Separazione delle variabili

In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.

Equazioni differenziali ordinarie

Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)}$

con ${\displaystyle y=f(x)}$. Se ${\displaystyle h(y)\neq 0}$ si possono riordinare i termini:

${\displaystyle \int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}}$

in modo che le variabili ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ siano separate ognuna in uno dei due membri.

Una delle equazioni più significative a cui si applica il metodo è ${\displaystyle y'=ay}$, la crescita esponenziale.

Esempio

La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}$

dove ${\displaystyle P}$ è la popolazione in funzione del tempo ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle k}$ è il suo tasso di crescita e ${\displaystyle K}$ è la capacità portante dell'ambiente. Riordinando i termini e integrando:

${\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt}$

Per valutare l'integrale a sinistra si semplifica la frazione:

${\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}}$

e quindi la si decompone in fratti semplici:

${\displaystyle {\frac {K}{P\left(K-P\right)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}}$

Si ha quindi:

${\displaystyle \int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt}$

Uguagliando gli integrandi:

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C}$

da cui:

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C}$

per le proprietà dei logaritmi:

${\displaystyle \ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C}$

Si ha:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}=e^{-C}e^{-kt}}$

e quindi:

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}}$

Sia ${\displaystyle A=\pm e^{-C}}$. Allora:

${\displaystyle {\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}}$

che si può riscrivere:

${\displaystyle {\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}}$

da cui si ricava:

${\displaystyle P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

Quindi la soluzione all'equazione logistica è:

${\displaystyle P\left(t\right)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}}$

Per trovare ${\displaystyle A}$, sia ${\displaystyle t=0}$ e ${\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}}$. Si ha:

${\displaystyle P_{0}={\frac {K}{1+Ae^{0}}}}$

Notando che ${\displaystyle e^{0}=1}$, risolvendo per ${\displaystyle A}$ si ha:

${\displaystyle A={\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}}$

Equazioni alle derivate parziali

Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.

Caso omogeneo

Data l'equazione della diffusione in una dimensione:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$

con condizione al contorno:

${\displaystyle u{\big |}_{x=0}=u{\big |}_{x=L}=0}$

si cerca di trovare una soluzione ${\displaystyle u}$ non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che sia un prodotto in cui la dipendenza da ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle t}$ è separata, ovvero:

${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}$

Sostituendo ${\displaystyle u}$ nell'equazione e usando la regola del prodotto:

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}}$

Dato che il membro alla destra dipende solo da ${\displaystyle x}$ e quello alla sinistra solo da ${\displaystyle t}$, entrambi sono uguali ad una qualche costante ${\displaystyle -\lambda }$:

${\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t)\qquad X''(x)=-\lambda X(x)}$

dove ${\displaystyle -\lambda }$ è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con ${\displaystyle T(t)}$ e ${\displaystyle X(x)}$ le rispettive autofunzioni.

Per mostrare che non vi sono soluzioni per ${\displaystyle \lambda \leq 0}$, si osserva inizialmente che per ${\displaystyle \lambda <0}$ esistono due numeri reali ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ tali che:

${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}}$

Utilizzando le condizioni al contorno si ha che ${\displaystyle X(0)=0=X(L)}$, da cui si ha ${\displaystyle B=0=C}$, che implica che ${\displaystyle u}$ è nulla. Supponendo ${\displaystyle \lambda =0}$, del resto, in tal caso esistono due numeri reali ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ tali che:

${\displaystyle X(x)=Bx+C}$

Dal fatto che ${\displaystyle X(0)=0=X(L)}$ si conclude in modo analogo che ${\displaystyle u}$ è nulla. Quindi, deve essere ${\displaystyle \lambda >0}$, ed esistono ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ tali che:

${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}\qquad X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x)}$

Sfruttando nuovamente ${\displaystyle X(0)=0=X(L)}$, si ha ${\displaystyle C=0}$ e che per qualche intero positivo ${\displaystyle n}$ si verifica:

${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}}$

Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di ${\displaystyle u}$ ha la forma ${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)}$. In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}\exp \left(-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}\right)}$

dove ${\displaystyle D_{n}}$ sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.

Se la condizione iniziale è:

${\displaystyle u{\big |}_{t=0}=f(x)}$

si ottiene:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

che è l'espansione in serie di seni di ${\displaystyle f(x)}$. Moltiplicando ambo i membri per ${\displaystyle \sin(n\pi x/L)}$ e integrando nell'intervallo ${\displaystyle [0,L]}$ si ha:

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx}$

Questo metodo richiede che le autofunzioni di ${\displaystyle x}$, che in tal caso sono:

${\displaystyle \left\{\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right\}_{n=1}^{\infty }}$

siano ortogonali e siano una base completa. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.

Caso non omogeneo

Si consideri l'equazione non omogenea:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=h(x,t)}$

con le medesime condizioni iniziali di quella omogenea. Le funzioni ${\displaystyle h(x,t)}$, ${\displaystyle u(x,t)}$ e ${\displaystyle f(x,t)}$ possono essere espanse in serie di seni:

${\displaystyle h(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }h_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(t)\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}$

dove ${\displaystyle h_{n}(t)}$ e ${\displaystyle b_{n}}$ possono essere calcolati per integrazione, mentre ${\displaystyle u_{n}(t)}$ deve essere determinato. Sostituendo le espansioni di ${\displaystyle h_{n}(t)}$ e ${\displaystyle u_{n}(t)}$ nell'equazione non omogenea e considerando l'ortogonalità delle funzioni seno si ottiene:

${\displaystyle u'_{n}(t)+\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}u_{n}(t)=h_{n}(t)}$

che è una successione di equazioni differenziali lineari che possono essere risolte facilmente con alcuni metodi quali il fattore di integrazione o la trasformata di Laplace. Alla fine si ottiene:

${\displaystyle u_{n}(t)=e^{-\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}t}\left(b_{n}+\int _{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}s}\,ds\right)}$

Il metodo può essere utilizzato anche per coordinate curvilinee ortogonali, anche se con alcune differenze rispetto alle coordinate cartesiane.

Software

Xcas:^[1] split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Note

Bibliografia

• (EN) Andrei D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton, Chapman & Hall/CRC Press, 2002, ISBN 1-58488-299-9.
• (EN) Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers^{[collegamento interrotto]}, Boston, MA, 2007, ISBN 978-0-8176-4393-5. URL consultato il 29 marzo 2011.
• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Graduate Studies in Mathematics, vol. 140, Providence, RI, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Equazione differenziale ordinaria
• Equazione logistica
• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

Collegamenti esterni

• (EN) separation of variables, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Separazione delle variabili, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Separazione delle variabili, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Methods of Generalized and Functional Separation of Variables at EqWorld: The World of Mathematical Equations
• (EN) Examples of separating variables to solve PDEs
• (EN) "A Short Justification of Separation of Variables" (PDF), su math-cs.gordon.edu.