Tavola degli integrali più comuni

In base al Primo teorema fondamentale del calcolo integrale, il calcolo di suddetti integrali tramite identificazione della primitiva viene effettuato attraverso algoritmi atti a far sì che la derivata del risultato coincida con la funzione integranda. Questa pagina contiene una tavola degli integrali più comuni. Queste formule sono equivalenti a quelle presentate nella tavola delle derivate. Per altri integrali vedi Integrale § Tavole di integrali.

Qui ${\displaystyle C}$ denota una costante arbitraria di integrazione che ha senso specificare solo in relazione a una specificazione del valore dell'integrale in qualche punto.

Regole per l'integrazione di funzioni generiche

Costante:

${\displaystyle \int af(x)\,\mathrm {d} x=a\int f(x)\,\mathrm {d} x}$

Somma:

${\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,\mathrm {d} x=\int f(x)\,\mathrm {d} x+\int g(x)\,\mathrm {d} x}$

Integrazione per parti:

${\displaystyle \int f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

Funzioni razionali

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione razionale.

${\displaystyle \int \,\mathrm {d} x=x+C}$

${\displaystyle \int x^{a}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\iff a\neq -1}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|x\right|}+C}$

${\displaystyle \int {\sqrt {x}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}{\sqrt {x^{3}}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|f(x)\right|}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}\,\mathrm {d} x=\arctan {f(x)}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\arctan {x}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{a+bx^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\arctan {\frac {{\sqrt {b}}x}{\sqrt {a}}}}{\sqrt {ab}}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln {\left|{\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|}+C\iff b^{2}-4ac>0}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\arctan {\left({\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\right)}+C\iff b^{2}-4ac<0}$

${\displaystyle \int {\frac {x+c}{\left(x+b\right)^{2}+a^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln {\left(x^{2}+2bx+a^{2}+b^{2}\right)}+{\frac {c-b}{a}}\arctan {\left({\frac {x+b}{a}}\right)}+C}$

Logaritmi

Lo stesso argomento in dettaglio: Logaritmo.

${\displaystyle \int \ln {x}\,\mathrm {d} x=x\ln {x}-x+C}$

${\displaystyle \int \log _{b}{x}\,\mathrm {d} x=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C}$

Funzioni esponenziali

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione esponenziale.

${\displaystyle \int e^{x}\,\mathrm {d} x=e^{x}+C}$

${\displaystyle \int e^{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {e^{ax}}{a}}+C}$

${\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,\mathrm {d} x=e^{f(x)}+C}$

${\displaystyle \int a^{x}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}$

${\displaystyle \int a^{f(x)}f'(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a^{f(x)}}{\ln {a}}}+C}$

Funzioni irrazionali

${\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin {x}+C}$

${\displaystyle \int {-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arccos {x}+C}$

${\displaystyle \int {1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {arcsec} {x}+C}$

${\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {settsinh} {x}+C}$

${\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {settcosh} {x}+C}$

${\displaystyle \int {\sqrt[{}]{a^{2}-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\ +C}$

${\displaystyle \int {\sqrt[{}]{a^{2}+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}}{2}}\operatorname {settsinh} {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}\,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\ +C}$

Funzioni trigonometriche

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzioni trigonometriche.

${\displaystyle \int \cos {x}\,\mathrm {d} x=\sin {x}+C}$

${\displaystyle \int \sin {x}\,\mathrm {d} x=-\cos {x}+C}$

${\displaystyle \int f'(x)\cos f(x)\,\mathrm {d} x=\sin {f(x)}+C}$

${\displaystyle \int f'(x)\,\sin {f(x)}\,\mathrm {d} x=-\cos {f(x)}+C}$

${\displaystyle \int \tan {x}\,\mathrm {d} x=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,\mathrm {d} x=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \cot {x}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|\sin x\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,\mathrm {d} x=\tan x+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,\mathrm {d} x=-\cot x+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cos(ax)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\,\sin(ax)+C}$

${\displaystyle \int \sin(ax)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\cos(ax)+C}$

Funzioni iperboliche

Lo stesso argomento in dettaglio: Funzioni iperboliche.

${\displaystyle \int \sinh x\,\mathrm {d} x=\cosh x+C}$

${\displaystyle \int \cosh x\,\mathrm {d} x=\sinh x+C}$

${\displaystyle \int \tanh x\,\mathrm {d} x=\ln(\cosh x)+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,\mathrm {d} x=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,\mathrm {d} x=\arctan(\sinh x)+C}$

${\displaystyle \int \coth x\,\mathrm {d} x=\ln |\sinh x|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {settcosh} x\,\mathrm {d} x=x\operatorname {settcosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {settsinh} x\,\mathrm {d} x=x\operatorname {settsinh} x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {setttanh} x\,\mathrm {d} x=x\operatorname {setttanh} x+{\frac {\log {(1-x^{2})}}{2}}+C}$

Voci correlate

• Integrale

Collegamenti esterni

• The Integrator - Calcolo formale di primitive (Wolfram Research), su integrals.wolfram.com. URL consultato il 2 marzo 2007 (archiviato dall'url originale il 25 marzo 2013).
• Integrali definiti e indefiniti (Interactive Multipurpose Server) (WIMS)

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