Teorema dei numeri pentagonali

In matematica, il teorema dei numeri pentagonali stabilisce una relazione tra la rappresentazione in serie della funzione di Eulero e quella sotto forma di prodotto.

Il teorema stesso è dovuto a Eulero e si può considerare come un caso particolare del triplo prodotto di Jacobi.

Il teorema afferma che:

∏ k = 1 ∞ ( 1 − x k ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n x ( 3 n 2 − n ) / 2 = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( x ( 3 n 2 + n ) / 2 + x ( 3 n 2 − n ) / 2 ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\left(1-x^{k}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{n}x^{\left(3n^{2}-n\right)/2}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n}\left(x^{(3n^{2}+n)/2}+x^{(3n^{2}-n)/2}\right)}

ossia, in altri termini:

( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 3 ) × ⋯ = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − ⋯ {\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\times \cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots }

Il nome deriva dal fatto che gli esponenti 1, 2, 5, 7, 12, ... nel termine destro, della forma:

1 2 ( 3 n 2 − n ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(3n^{2}-n\right)}

sono numeri pentagonali generalizzati.

Se si considera la serie come serie di potenze il suo raggio di convergenza risulta uguale a 1.

Se si trascura la questione della convergenza, il teorema resta valido come affermazione in ordine alle serie formali di potenze.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eulero e il teorema dei numeri pentagonali, su front.math.ucdavis.edu. URL consultato il 17 novembre 2005 (archiviato dall'url originale il 22 aprile 2008).
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