Teorema dei residui

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In analisi complessa, il teorema dei residui è uno strumento per calcolare gli integrali di contorno di funzioni olomorfe o meromorfe su curve chiuse. Può essere usato anche per calcolare integrali reali. Esso generalizza il teorema integrale di Cauchy e la formula integrale di Cauchy.

Enunciato

Sia $\Omega$ un insieme aperto del piano complesso $\mathbb {C}$ . Siano $z_{1},\ldots ,z_{n}$ punti di singolarità della funzione $\omega =f(z)$ in $\Omega$ . Sia inoltre $\gamma$ una curva semplice chiusa in $\Omega \setminus \{z_{1},\dots ,z_{n}\}$ tale che $\{z_{1},\dots ,z_{n}\}$ sia contenuto nel sottoinsieme limitato di $\mathbb {C}$ delimitato da $\gamma$ .

Se $f(z)$ è una funzione olomorfa su $\Omega \setminus \{z_{1},\dots ,z_{n}\}$ , allora l'integrale della funzione su $\gamma$ è dato dalla:

\oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}I_{z_{k}}(\gamma )\operatorname {Res} _{z_{k}}(f),

dove $\operatorname {Res} _{z_{k}}(f)$ denota il residuo di $f$ in $z_{k}$ , e $I_{z_{k}}(\gamma )$ è l'indice di avvolgimento della curva $\gamma$ attorno a $z_{k}$ .

L'indice di avvolgimento è un intero che rappresenta intuitivamente il numero di volte con cui la curva $\gamma$ si avvolge attorno ad $z_{k}$ ; esso è positivo se $\gamma$ gira in senso antiorario attorno a $z_{k}$ e negativo viceversa, nullo se non circonda alcun punto singolare.

Dimostrazione

Si consideri il dominio all'interno della curva $\gamma$ . Si considerino $\gamma _{k}$ multiplamente connesso, dove $\gamma _{k}$ sono le curve che circondano i punti di singolarità $z_{k}$ percorsi in senso antiorario. Tenendo conto dei versi positivi dei percorsi, dal teorema integrale di Cauchy (generalizzato ai domini multiplamente connessi) deriva facilmente che:

\oint _{\gamma }f(\xi )\,d\xi =\sum _{k=1}^{n}\oint _{\gamma _{k}}f(\xi )\,d\xi ,

ma dalla definizione di residuo l'ultimo integrale non è altro che il residuo $k$ -esimo, per cui:

\oint _{\gamma }f(\xi )\,d\xi =2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} _{z_{k}}(f).

Da notare che l'indice di avvolgimento è necessario qualora i percorsi vengano eseguiti in sensi opposti o più di una volta.

Somma dei residui

Nel caso in cui $\Omega$ sia il piano complesso, il teorema dei residui ha come applicazione il fatto seguente.

Sia

f:\mathbb {C} \setminus \{z_{1}\ ,z_{2}\ ,.....,z_{k}\}\to \mathbb {C}

una funzione olomorfa. La somma dei residui nei punti $z_{1},\ldots ,z_{k},\infty$ è sempre zero. In altre parole:

\sum \limits _{i=1}^{k}\operatorname {Res} _{z_{i}}f+\operatorname {Res} _{\infty }f=0

dove $\operatorname {Res} _{\infty }f(z)$ è il residuo all'infinito di $f$ .

Lemmi

Per risolvere praticamente gli integrali in forma complessa, sono necessari alcuni lemmi aggiuntivi che permettono di semplificare e risolvere gli integrali stessi.