In teoria delle categorie una trasformazione naturale è una freccia tra funtori "paralleli".
che rende possibile definire la categoria
di tutti i funtori
tra due categorie
assegnate.
Definizione
Siano
due funtori tra le categorie
e
.
Una trasformazione naturale
è una collezione
di frecce di
indicizzate dagli oggetti di
e tale che il seguente diagramma commuta per ogni freccia
di
:
cioè
.
Composizione orizzontale
Siano date le trasformazioni naturali
ove
sono funtori tra due categorie
, mentre
sono funtori tra due categorie
.
Se ne può definire la composizione orizzontale
come quella trasformazione naturale
le cui frecce, nella categoria
, siano definite in uno dei due modi equivalenti:
,
.
infatti, applicando i funtori H,K al diagramma della trasformazione naturale tra F e G otteniamo:
Composizione verticale
Siano date le trasformazioni naturali
ove
sono funtori tra due categorie
.
Se ne può definire la composizione verticale
come quella trasformazione naturale
le cui frecce, nella categoria
, siano definite nel modo elementare:
Categoria dei funtori
Siamo ora pronti per definire la categoria dei funtori come quella categoria
che ha per oggetti tutti i funtori
, per frecce
le trasformazioni naturali tra tali funtori e la composizione di frecce sia proprio la composizione verticale poc'anzi definita.
Esempio 1
Se
è la categoria degli insiemi e
è la categoria duale di una categoria
(
è ottenuta invertendo tutte le frecce di
), allora la categoria
è la categoria dei prefasci su
.
Esempio 2
Sia
la categoria con due oggetti distinti e una sola freccia tra essi. Sia
l'insieme ordinato dei numeri razionali visto come categoria ponendo i numeri come oggetti e le relazioni
come frecce
.
Si verifica che i funtori
sono le sezioni di numeri razionali (con l'aggiunta dell'insieme vuoto
e dell'intero
). Quindi abbiamo la formula notevole:
ove
è l'insieme ordinato dei numeri reali con l'aggiunta di
e
.
Bibliografia
- Saunders Mac Lane, Categorie nella pratica matematica, Editore Boringhieri, 1977.
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