Trasformazione politropica

Una trasformazione politropica è una trasformazione termodinamica che segue la legge:^[1]

pV^{n}={\rm {cost.}}

dove:

$p$ : pressione del fluido
$V$ : volume specifico
$n$ : esponente caratteristico (o anche numero caratteristico) della politropica.

Tra l'esponente caratteristico della politropica n e il calore specifico c intercorre la relazione $n=(c_{p}-c)/(c_{v}-c)$ ove c_p e c_v sono rispettivamente i calori specifici a pressione costante e a volume specifico costante.

La politropica è una legge valida nell'ipotesi di una trasformazione quasistatica valida sia per i gas perfetti che per i gas reali.

Particolari valori dell'esponente caratteristico

Politropiche notevoli sul piano di Clapeyron.

La trasformazione politropica generalizza quattro trasformazioni quasistatiche fondamentali: isoentropica, isobara, isocora, isoterma. In base all'esponente caratteristico n si ottiene:

$n=0$ , $c=c_{p}$ e la trasformazione è isobara (p=cost)

$n=1$ , $\mathrm {d} T=0$ quindi $c=\pm \infty$ e la trasformazione è isoterma (pv=cost)^[2]

$n=\pm \infty$ , $c=c_{v}$ e la trasformazione è isocora (v=cost)^[3]

$n=k$ , $\delta Q=0$ quindi $c=0$ e la trasformazione è adiabatica e isoentropica $pV^{k}={\text{cost.}}$ ^[4].

Il calore specifico è negativo per $1<n<k$ ovvero per trasformazioni comprese tra l'isoterma e l'adiabatica.

Trasformazione politropica di gas perfetto

Dato un gas a comportamento perfetto vale la relazione pv=RT dove R è la costante specifica dei gas e non quella universale e dipende dal tipo di gas. Componendo questa relazione con quella della politropica si ottengono altre due espressioni della trasformazione politropica valide solo nell'ipotesi di gas perfetto:

$TV^{n-1}={\mbox{cost}}$
$Tp^{\frac {1-n}{n}}={\mbox{cost}}$

Calore specifico

Il calore specifico viene definito come:

c={\frac {\delta q}{\mathrm {d} T}}

dove $\delta q$ è il calore per unità di massa e $\delta$ indica un differenziale non esatto.

Non è detto che per una trasformazione politropica $c$ sia costante, lo è solo nel caso di gas ideale^[5].

Nel caso di gas perfetto sottoposto a trasformazione politropica si può dimostrare^[6] che (con k=cost):

c=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}

Si noti, tramite la relazione di Mayer, che $k={\frac {c_{p}}{c_{v}}}=1+{\frac {R}{c_{v}}}$ e quindi k è maggiore dell'unità.

Lavoro di variazione di volume

Il lavoro specifico si calcola come:

\int _{1}^{2}p\,\mathrm {d} V=p_{1}V_{1}^{n}\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} V}{V^{n}}}

da cui si ottiene:

L={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{1}V_{1}}{n-1}}\left[1-\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n-1}\right]&{\mbox{se }}n\neq 1\\[5pt]p_{1}V_{1}\ln \left(\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)&{\mbox{se }}n=1\end{cases}}

Per ottenere il lavoro totale basta moltiplicare per la massa del sistema. La prima espressione vale per qualsiasi fluido sottoposto a trasformazione politropica, nel caso di gas a comportamento perfetto valgono le seguenti relazioni:

$L={\frac {R}{n-1}}(T_{1}-T_{2}){\mbox{ se }}n\neq 1$
$L={\begin{cases}\displaystyle {\frac {RT_{1}}{n-1}}\left[1-\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{{n-1} \over n}\right]&{\mbox{se }}n\neq 1\\[5pt]RT_{1}\ln \left(\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)&{\mbox{se }}n=1\end{cases}}$ .

Note

^ (EN) DOE Fundamentals Handbook - "Thermodynamics, Heat transfer, and fluid flow", p. 29. Archiviato il 20 dicembre 2016 in Internet Archive.
^ per la trasformazione isoterma: vale che $\mathrm {d} T=0$ , $c\rightarrow \infty$ in base alla definizione di calore specifico, e $n\rightarrow 1$ . Quindi, nel caso della trasformazione isoterma, l'espressione di una trasformazione politropica si riconduce alla Legge di Boyle-Mariotte.
^ $pV^{n}={\mbox{cost}}\Leftrightarrow p^{\frac {1}{n}}V={\mbox{cost.}}$ se $n=\pm \infty \Rightarrow V={\mbox{cost.}}$
^ per un'adiabatica $\delta q=0\Rightarrow c={\frac {\delta q}{dT}}=0\Rightarrow n=k$ per l'espressione $c=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}$ , precisamente si tratta di una trasformazione isoentropica ovvero un'adiabatica reversibile
^ Si definisce "gas ideale" un gas perfetto in cui $c_{v}$ e $c_{p}$ sono costanti
^ $\delta q=du+pdv=c_{v}dT+pdv\Rightarrow c=c_{v}+p{\frac {dv}{dT}}$ siccome il gas è perfetto derivando l'espressione $TV^{n-1}={\mbox{cost}}$ si ottiene $T(n-1)dv+vdT=0\Rightarrow {\frac {dv}{dT}}=-{\frac {v}{(n-1)T}}$ da cui $c=c_{v}-{\frac {1}{n-1}}\cdot {\frac {pv}{T}}=c_{v}-{\frac {R}{n-1}}={\frac {nc_{v}-c_{p}}{n-1}}=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}$