デデキントゼータ関数

デデキントゼータ関数（-かんすう、英: Dedekind's zeta function）とは、

代数体 K に対して

ζ K ( s ) = ∑ a 1 ( N a ) s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{\mathfrak {a}}{\frac {1}{(N{\mathfrak {a}})^{s}}}}

で表される関数のことをいう。但し、和は K の整イデアル[1]全てを動き、 N a {\displaystyle \scriptstyle N{\mathfrak {a}}} は整イデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} のノルムである。従って、デデキントゼータ関数は、ヘッケのL関数の特別な場合である。 特に、K が有理数体のとき、リーマンゼータ関数になる。

与えられた整数 n に対して、ノルムが n である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、 デデキントゼータ関数は、

ζ K ( s ) = ∑ n = 1 ∞ F n n s         ( F n ∈ Z ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{n}}{n^{s}}}\ \ \ \ (F_{n}\in \mathbb {Z} )}

と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。

デデキントゼータ関数は、 Re ⁡   s > 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1} に対して、絶対かつ一様収束する。従って、 Re ⁡   s > 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1} で、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は正則関数である。

関数等式

n 次代数体 K に対して、デデキントゼータ関数は次の関数等式を満たす：

ζ K ( 1 − s ) = | D K | s − 1 / 2 ( cos ⁡ π s 2 ) r 1 + r 2 ( sin ⁡ π s 2 ) r 2 ( 2 ( 2 π ) − s Γ ( s ) ) n ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(1-s)=|D_{K}|^{s-1/2}\left(\cos {\frac {\pi s}{2}}\right)^{r_{1}+r_{2}}\left(\sin {\frac {\pi s}{2}}\right)^{r_{2}}(2(2\pi )^{-s}\Gamma (s))^{n}\zeta _{K}(s)} 。

但し、 r 1 ,   2 r 2 {\displaystyle r_{1},\ 2r_{2}} は K の実共役体、虚共役体の個数とする。

特に、K を有理数体にすれば、よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式

ζ ( 1 − s ) = 2 ( 2 π ) − s cos ⁡ ( π s 2 )   Γ ( s )   ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (1-s)=2(2\pi )^{-s}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (s)\ \zeta (s)}

が成立する。

さらに、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} に対する、代数体 K の完全ゼータ関数を

Z K ( s ) = | D K | s / 2 2 − ( s − 1 ) r 2 π − n s / 2 Γ ( s / 2 ) r 1 Γ ( s ) r 2 ζ K ( s ) {\displaystyle Z_{K}(s)=|D_{K}|^{s/2}2^{-(s-1)r_{2}}\pi ^{-ns/2}\Gamma (s/2)^{r_{1}}\Gamma (s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s)}

とおけば[2]、関数等式

Z K ( 1 − s ) = Z K ( s ) {\displaystyle Z_{K}(1-s)=Z_{K}(s)}

を満たし、 C ∖ { 1 } {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} に解析接続できる。従って、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は C ∖ { 1 } {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} まで解析接続できる。

解析接続できない s = 1 {\displaystyle s=1} では、デデキントゼータ関数は 1 位の極で、留数は

κ = 2 r 1 ( 2 π ) r 2 w | D K | 1 / 2 h K R {\displaystyle \kappa ={\frac {2^{r_{1}}(2\pi )^{r_{2}}}{w|D_{K}|^{1/2}}}h_{K}R}

である。つまり、

ζ K ( s ) = κ s − 1 + O ( 1 )       ( s → 1 + 0 ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)={\frac {\kappa }{s-1}}+O(1)\ \ \ (s\to 1+0)}

である。[3]

ただし、 r 1 ,   2 r 2 {\displaystyle r_{1},\ 2r_{2}} は K の実共役体、虚共役体の個数、w は、K に含まれる 1 のベキ根の個数、 h K ,   R {\displaystyle h_{K},\ R} は、それぞれ K の類数、単数基準とする。

デデキントゼータ関数の零点

(1) 自明な零点

ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} と ζ K ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta _{K}(1-s)} との関係式から自明な零点を求めることができる。
  • K が総実体のとき
    任意の正整数 k に対して、 ζ K ( − 2 k ) = 0 {\displaystyle \zeta _{K}(-2k)=0} 。
  • K が総実体ではないとき
    任意の正整数 k に対して、 ζ K ( − k ) = 0 {\displaystyle \zeta _{K}(-k)=0} 。

(2) 非自明な零点

s が、 Re ⁡   s > 0 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>0} である零点とすれば、 R s   s = 1 / 2 {\displaystyle \scriptstyle Rs\ s=1/2} であると予想されている。これを拡張されたリーマン予想という。リーマンゼータ関数に対するリーマン予想をその特別な場合として含む予想であり、現在でも未解決である。

オイラー積

任意の整イデアルは、素イデアルの積で表すことができるので、デデキントゼータ関数は、以下のオイラー積表示を持つ。

Re ⁡   s > 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1} のとき、

ζ K ( s ) = ∏ p 1 1 − ( N p ) − s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-(N{\mathfrak {p}})^{-s}}}} 。

ただし、積は K の素イデアル全てを動くものとする。

ディリクレのL関数との関係

デデキントゼータ関数のオイラー積表示により、素イデアルのノルムの値からデデキントゼータ関数を具体的に計算することができる。素イデアルのノルムは、有理素数[4]の素イデアル分解の結果から求めることができるが、K が一般の代数体の場合、素イデアル分解が複雑であるので、具体的に計算することは大変難しい。 しかし、K が二次体または円分体であれば、素イデアル分解の様子がよく分かっているので、オイラー積を計算することができ、その結果、デデキントゼータ関数をディリクレのL関数を用いて表現することができることが知られている。

(1) K が二次体の場合

K の判別式を D とし、 χ D {\displaystyle \chi _{D}} を法 D に関するクロネッカー指標とすると、

ζ K ( s ) = ζ ( s ) L ( χ D ,   s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(\chi _{D},\ s)}

が成立する。

(2) K が円分体の場合

K = Q ( ζ m ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m > 2 ) {\displaystyle (m>2)} とする。

ζ K ( s ) = ∏ χ L ( χ , s ) = ζ ( s ) ∏ χ ≠ χ 0 L ( χ , s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{\chi }L(\chi ,s)=\zeta (s)\!\!\prod _{\chi \neq \chi _{0}}\!\!L(\chi ,s)}

が成立する。ここで、最初の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標全てにわたる積とし、二番目の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標のうち、単位指標以外のもの全てにわたる積である。

さらに、任意の有理数体のアーベル拡大体 K は、ある円分体の部分体であるので(クロネッカー＝ウェーバーの定理)、上のことから、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は、いくつかのディリクレL関数の積で表すことができる。

応用例

デデキントゼータ関数を用いた応用例として、2つの平方数の和で表す方法の数を求めてみることにする。

これはヤコビの二平方定理として知られ、いろいろな証明方法が知られているが(ヤコビの二平方定理の証明を参照)、ここでは、デデキントゼータ関数を使った方法で証明してみる。

K = Q ( − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})} とおき、K 上のデデキントゼータ関数 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} を二通りの方法で計算する。

まずは、ディリクレ級数の形でデデキントゼータ関数を表し、その係数を求めてみる。

ζ K ( s ) = ∑ n = 1 ∞ F n n s         ( F n ∈ Z ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{n}}{n^{s}}}\ \ \ \ (F_{n}\in \mathbb {Z} )}

とおくと、

F n = 1 4 # { ( a , b ) | a 2 + b 2 = n ,   a ,   b ∈ Z } {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{4}}\#\{(a,b)|a^{2}+b^{2}=n,\ a,\ b\in \mathbb {Z} \}} [5]

が成立するので、 F n {\displaystyle F_{n}} は、n を2つの平方数の和で表す方法の数の4倍に等しい。慣例に従って、2つの平方数の和で表す方法の数を r 2 ( n ) {\displaystyle r_{2}(n)} と書くと、

ζ K ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 / 4 ) r 2 ( n ) n s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(1/4)r_{2}(n)}{n^{s}}}}

と表される。

さて、K は二次体であるので、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は、リーマンゼータ関数と、クロネッカー指標からなるディリクレL関数の積で表される。 K = Q ( − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})} のクロネッカー指標を具体的に求めることにより、

ζ K ( s ) = ζ ( s ) ∏ p ; odd ⁡   prime ( 1 − ( − 1 ) ( p − 1 ) / 2 p − s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)\!\!\!\!\!\!\!\prod _{p;\operatorname {odd} \ \operatorname {prime} }\!\!\!\!\!\!\!\left(1-(-1)^{(p-1)/2}p^{-s}\right)}

が成立する。二通りに表された ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} を比較することにより、

r 2 ( n ) = 4 ∑ 2 ∤ d | n ( − 1 ) ( d − 1 ) / 2 {\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{2\nmid d|n}(-1)^{(d-1)/2}}

が成立する。これはヤコビの二平方定理に他ならない。

さらなる応用として、K を別の二次体 ( Q ( − 2 ) ,   Q ( − 3 ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {Q} ({\sqrt {-2}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})} にすることで、上と同じ方法で、 x 2 + 2 y 2 ,   x 2 + 3 y 2 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}+2y^{2},\ x^{2}+3y^{2}} の形での表し方の数を求めることができる。

注釈

  1. ^ K の整数環のイデアルのこと。
  2. ^ K を有理数体にすれば、完備化されたゼータ関数になる。
  3. ^ K を有理数体にすれば、 κ = 1 {\displaystyle \kappa =1} であるので、リーマンゼータ関数に対する s = 1 {\displaystyle s=1} の留数に等しい。
  4. ^ 有理整数である素数のこと。
  5. ^ 4 で割るのは、 a + b i ,   − a − b i ,   b − a i ,   − b + a i {\displaystyle \scriptstyle a+bi,\ -a-bi,\ b-ai,\ -b+ai} が全て同じイデアルに属するからである。

参考文献

  • ノイキルヒ, J. 著、足立恒雄(監修)・梅垣敦紀 訳『代数的整数論』シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年。 

関連項目