公正なコイン

確率論や統計学において、各試行における成功の確率が1/2である一連の独立したベルヌーイ試行を、比喩的に公正なコイン（こうせいなコイン、fair coin、フェアコイン）と呼ぶ。確率が1/2ではないものは、偏ったコイン（かたよったコイン、biased coin、バイアスコイン）または不正なコイン（ふせいなコイン、unfair coin、アンフェアコイン）と呼ばれる。理論的研究では、多くの場合、公正なコインとして理想的なコインによるコイントスを仮定する。

数学者ジョン・エドモンド・ケリック（英語版）は、不正なコインによるコイントスを何度も繰り返す実験を行った。彼は、クラウン銀貨程度の大きさの木製のディスクの片面のみ鉛でコーティングされたコインを使用し、1000回中679回が表になった（木の面を表とする）^[1]。この実験では、コインを曲げた人差指の上に乗せて親指で弾き飛ばし、約1フィートの高さを落下する間に空中で回転させ、テーブルの上に平らに広げられた布に着地させた。物理学者エドウィン・トンプソン・ジェーンズ（英語版）は、投げたコインをバウンドさせずに手でキャッチした場合、コインの物理的バイアスはトスの方法と比較して重要ではなく、十分に練習すれば100%の確率でコインを手の上に着地させることができると主張した^[2]。コインが公正であるかどうかを確認する問題は、統計を教える上で確立された教育ツールである。

統計の教育と理論における役割

コイントスの確率的・統計的特性は、入門書でも専門的な教科書でも例としてよく使用されるが、これはコインが公正または「理想的」なものであるという仮定に基づいている。例えば、ウィリアム・フェラー（英語版）は、この仮定に基づいて、ランダムウォークの概念を導入し、シーケンス内の同一値の連続の特性を調べることによる、一連の観測内の均一性（英語版）の検定を開発した^[3]。後者はワルド‐ウォルフォビッツ連検定（英語版）につながる。公正なコインを投げた結果からなる時系列は、ベルヌーイ過程と呼ばれる。

不正なコインにより公正な結果を得る方法

片側が出やすいように加工したコイン（不正なコイン）を使用した場合でも、ゲームのルールを変えることで、そのコインから公正な結果を得ることができる。ジョン・フォン・ノイマンは次の手順を示した^[4]。

コインを2回トスする。
2回の結果が一致する場合は、両方の結果を破棄し、最初からやり直す。
2回の結果が一致しない場合は、1回目の結果を採用する。

この方法により結果が公正になる理由は、2回の試行において確率の偏りが変わらず、それぞれの試行が独立しているため、表の後に裏が出る確率と、裏の後に表が出る確率が必ず同じになるからである。2回とも表または裏となった事象を除外することにより、同じ確率を持つ残りの2つの結果のみが残る。この手順は、試行の後に後続の試行の確率の偏りが変わらない場合、つまり、展延性のないコインを使用した場合のみ機能する。また、この手順は、適切に2回ずつトスを行った場合にのみ機能する。例えば、2回目のトスの結果を次のトスのペアの1回目として再利用すると、公平性が損なわれる可能性がある。加えて、片方の面の出る確率が極端に低い（ほとんど確実に（英語版）どちらかの面しか出ない）コインでも、公正な結果は得られない。

この方法は、コイントスの回数を4回に拡張することもできる。つまり、1回目・2回目の結果が一致し、3回目・4回目の結果が一致しなかった場合、1回目のトスの結果を採用する。これは、表表裏裏と裏裏表表の発生する確率が等しいためである。この考え方は2の累乗回に拡張できる。

脚注

^ Kerrich, John Edmund (1946). An experimental introduction to the theory of probability. E. Munksgaard. https://archive.org/details/experimentalintr00kerr
^ Jaynes, E.T. (2003). Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 318. ISBN 9780521592710. オリジナルの2002-02-05時点におけるアーカイブ。. https://web.archive.org/web/20020205134720/http://bayes.wustl.edu/etj/prob.html
^ Feller, W (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-25708-0
^ von Neumann, John (1951). “Various techniques used in connection with random digits”. National Bureau of Standards Applied Math Series 12: 36.

参考文献

Gelman, Andrew; Deborah Nolan (2002). “Teacher's Corner: You Can Load a Die, But You Can't Bias a Coin”. American Statistician 56 (4): 308–311. doi:10.1198/000313002605. Available from Andrew Gelman's website
“Lifelong debunker takes on arbiter of neutral choices: Magician-turned-mathematician uncovers bias in a flip of a coin”. Stanford Report. (2004年6月7日). http://news-service.stanford.edu/news/2004/june9/diaconis-69.html 2008年3月5日閲覧。
John von Neumann, "Various techniques used in connection with random digits," in A.S. Householder, G.E. Forsythe, and H.H. Germond, eds., Monte Carlo Method, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 12 (Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office, 1951): 36-38.