双八元数

数学における双八元数（そうはちげんすう、英: bi­octonion）または複素­八元数（ふくそはちげんすう、英: complex octonion）は、双四元数（英語版） p, q の対 (p, q) として与えられる。二つの双八元数の積は、双四元数の乗法と双共軛 (biconjugate) p ↦ p* を用いて

( p , q ) ( r , s ) := ( p r − s ∗ q ,   s p + q r ∗ ) {\displaystyle (p,q)(r,s):=(pr-s^{*}q,\ sp+qr^{*})}
と定義される。

  • 双八元数 z ≔ (p, q) の共軛は z* ≔ (p*, −q) とする。
  • 双八元数 z のノルムは N(z) ≔ zz* (= pp* + qq*) と定義され、これは八つの項を持つ複素二次形式（エルミート二次形式）である。

双八元数全体の成す多元環（双八元数代数、双八元数環）は、単純に実係数の八元数体の複素化（英語版）として導入されることもあるが、抽象代数学においては複素数体・自明な対合・二次形式 z2 の三つ組からのケイリー–ディクソン構成の結果として得られる。双八元数環は一般八元数環の一つの例である。

双八元数の任意の対 y, z に対して

N ( y z ) = N ( y ) N ( z ) {\displaystyle N(yz)=N(y)N(z)}
が成り立つから、これにより N は合成可能な二次形式であることが分かり、したがって双八元数環は合成代数を成す。

複素八元数はクォークやレプトンの世代を記述するのに用いられた[1]。

脚注

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  1. ^ C. Furey (2016) Standard Model Physics from an Algebra ?

参考文献

  • J. D. Edmonds (1978) Nine-vectors, complex octonion/quaternion hypercomplex numbers, Lie groups and the ‘real’ world, Foundations of Physics 8(3-4): 303–11, doi:10.1007/BF00715215 link from PhilPapers.
  • J. Koeplinger & V. Dzhunushaliev (2008) "Nonassociative decomposition of angular momentum operator using complex octonions", presentation at a meeting of the American Physical Society
  • D.G. Kabe (1984) "Hypercomplex Multivariate Normal Distribution", Metrika 31(2):63−76 MR744966
  • A.A. Eliovich & V.I. Sanyuk (2010) "Polynorms", Theoretical and Mathematics Physics 162(2) 135−48 MR2681963
  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴
可算な体系
合成代数
通常型
  • 実数 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } )
  • 複素数 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } )
  • 四元数 ( H {\displaystyle \mathbb {H} } )
  • 八元数 ( O {\displaystyle \mathbb {O} } )
分解型
/ R {\displaystyle \mathbb {R} }
/ C {\displaystyle \mathbb {C} }
その他の多元数
その他