数学における多項定理(たこうていり、英: multinomial theorem)とは、多項和 (multinomial) の冪を展開した式を表すものである。二項定理において項数を一般化したものである。
定理の主張
多項公式 (multinomial formula) とは、正整数 m, 非負整数 n に対して、m項和の任意の n-冪を展開すると
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\dotsb {x_{m}}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b691fa6f98a6d0eed9d9852737625855c46d9237)
となることを示すものである。ここで係数 (n
k1, …, km) は多項係数と呼ばれ、
![{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d87f74439370f4fdd17611a82e33424a93ef1fa9)
となる。また、k1, k2, …, km は非負整数であり、総和は k1 + k2 + … + km = n となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数は n となる。また、x0 はここでは、二項定理の場合と同様に、(x が零のときも含めて恒等的に)1 と定義している。
多重添字記法を用いると、定理の主張は
![{\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{|\alpha |=n}{\dbinom {n}{\alpha }}x^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae22bbd7c8e85a035478f2a57136ef1700144d)
略記できる。ここに、α = (α1, α2, …, αm), x = (x1, x2, …, xm) であって、xα = xα1
1 xα2
2⋅ ⋯ ⋅xαm
m および |α| = α1 + α2 + … + αm, α! = α1! α2! ⋅ … ⋅ αm! に対して (n
α) = n!/α! = |α|/α! である。
例えば、
を展開すると、次のようになる:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{3}&=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\\&=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+3c^{2}a+3ca^{2}+6abc\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a6340edc401e9f06c3adeb05392dd8ee6fb5e7)
証明
組合せ論的証明
二項定理の組合せ論的証明と同様に証明できる。
n個の (x1 + x1 + … + xm) の積を一度に展開し切ることを考える。
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\underbrace {(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})\cdots (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})} _{n{\text{ factors}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce805a7fde2948bd79dd77a5d847218ba6c22fe7)
一度に展開すると、それぞれの (x1 + x1 + … + xm) から x1, …, xm の1つだけを取った文字 n個の総乗の総和となる。
これらの積のうち、並び替えて x1k1…xmkm (k1 + … + km = n) になるものは、k1個の x1、…、km個の xm を並べる場合の数だけあるから、多項係数 (n
k1, …, km)、すなわち x1k1…xmkm の係数は n!/k1!…km! となる。
指数について帰納法
二項定理と同様に、指数 n についての数学的帰納法で証明できる。
n =1 のとき、
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{1}=1x_{1}+1x_{2}+\cdots +1x_{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5423a315328452290c061c4c454c14e5689953e)
![{\displaystyle {\frac {1!}{1!\,0!\,\cdots 0!}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2123ddab55f749a0130535a610a03c969ddc96e7)
より成り立つ。
ある n について成り立つと仮定する。
![{\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031e8af891fa611bfe6ba1c4fae3304e5e5901cd)
より、
![{\displaystyle {\hphantom {=}}\;(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d936b287adf2fea8b17b6c4b2c1e38ce68d8213b)
![{\displaystyle =(x_{1}+\cdots +x_{m})(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544e937a2ca2c6596e1efe1ef337b10ce00279e2)
![{\displaystyle =(x_{1}+\cdots +x_{m})\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a1e5d9b3da1b6726cf21fb3ea9557f0fc1e706)
![{\displaystyle =x_{1}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+x_{m}\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ef6baf8df98dbdfb137ccb641188a084ebd843)
![{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}+1}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9bee5b3b35bb3594e5ea6dbf63ae76fb6c70a0)
![{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1 \atop k_{1}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n \atop k_{m}\geq 1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9df6d0332a371b909787a63e3e5256c519cd0cc)
![{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}+\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f08fb1868ad8b95620dfafbc86b2864757a6da4)
![{\displaystyle \left(\because {\binom {n}{\cdots ,-1,\cdots }}=0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7847cd00c5c0a0e1d319ace8b167d1a70c7472fd)
![{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}\left[{\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}\right]{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe44ee2c1b74c88132fe784d37b3606d40cfcda)
![{\displaystyle =\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n+1}{\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f14bd8baff0afca6b2b7ef6991237755a9cdf94)
最後の等号は
![{\displaystyle {\dbinom {n+1}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}={\dbinom {n}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{m}}}+\cdots +{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m-1},k_{m}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c75d2643d640cfca6e58b6a58c905227c90080)
が成り立つことを用いたが、これは右辺の階乗表示:
![{\displaystyle {\frac {n!}{(k_{1}-1)!k_{2}!\cdots k_{m-1}!}}+\cdots {\frac {n!}{k_{1}!\cdots k_{m-1}!(k_{m}-1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885caab878442e9c76ec1cea66da09244b3a9449)
を通分すると左辺になることが示せる。
項数について帰納法
二項定理を既知とすると、項数 m について数学的帰納法により証明できる。
まず m = 1 のとき、k1 = n であり両辺は単項で x1n に等しい。
次に、m に対して多項定理が成り立つと仮定する。
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m-1}+(x_{m}+x_{m+1}))^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324b0d4ecbc177b25148cb499826761a96d1db5b)
に帰納法の仮定を適用して
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}\left({\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}\sum \limits _{k_{m}+k_{m+1}=K}{\dbinom {K}{k_{m},k_{m+1}}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\right)\\&({\text{binomial theorem}})\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}\sum \limits _{k_{m}+k_{m+1}=K}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{\dbinom {K}{k_{m},k_{m+1}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\\&=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m-1}}^{k_{m-1}}{x_{m}}^{k_{m}}{x_{m+1}}^{k_{m+1}}\\&({\text{refer the below described Annotation}})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a17b5d7abe08187fed1c092c6ca287d83f79d61)
を得る。最後の等号は
![{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}}{\binom {K}{k_{m},k_{m+1}}}={\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538b6e5c4ca660593b7d603e40b1f2851b4f5e53)
が成り立つことを用いたが、これは例えば階乗による表示を用いれば
![{\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db0fe815982d5ede8e03b535505c79b55d244aaf)
と示せる。
応用例
一般ライプニッツ則
3個以上の函数の積の高階導函数に対しても、一般のライプニッツの法則を適用することができる:
![{\displaystyle (f_{1}\cdots f_{m})^{(n)}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}{f_{1}}^{(k_{1})}\cdots {f_{m}}^{(k_{m})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654158ca7a161035db0113f8d34cd8698ad526a0)
参考文献
関連項目
外部リンク
- 『多項定理の例題と2通りの証明』 - 高校数学の美しい物語
mutinom.m
function in Specfun (since 1.1.0) package of Octave-Forge for GNU Octave. SVN version - Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Multinomial coefficient”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Multinomial_coefficient