F 분포

F 분포
확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수 d 1 > 0 ,   d 2 > 0 {\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0} 자유도
지지집합 x ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle x\in [0,+\infty )\!}
확률 밀도 ( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) {\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}
누적 분포 I d 1 x d 1 x + d 2 ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) {\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}
기댓값 d 2 d 2 − 2 {\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!} for d 2 > 2 {\displaystyle d_{2}>2}
최빈값 d 1 − 2 d 1 d 2 d 2 + 2 {\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!} for d 1 > 2 {\displaystyle d_{1}>2}
분산 2 d 2 2 ( d 1 + d 2 − 2 ) d 1 ( d 2 − 2 ) 2 ( d 2 − 4 ) {\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!} for d 2 > 4 {\displaystyle d_{2}>4}
비대칭도 ( 2 d 1 + d 2 − 2 ) 8 ( d 2 − 4 ) ( d 2 − 6 ) d 1 ( d 1 + d 2 − 2 ) {\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}
for d 2 > 6 {\displaystyle d_{2}>6}
첨도 본문 참조
적률생성함수 존재하지 않음
특성함수 본문 참조

F 분포(F-distribution 또는 Snedecor's F distribution 또는 Fisher–Snedecor distribution)은 통계학에서 사용되는 연속 확률 분포로, F 검정(F test)과 분산분석(ANOVA,변량분석) 등에서 주로 사용된다.

두 확률변수 V 1 , V 2 {\displaystyle V_{1},V_{2}} 가 각각 자유도가 k 1 , k 2 {\displaystyle k_{1},k_{2}} 이고 서로 독립인 카이제곱 분포를 따른다고 할 때, 다음과 같이 정의되는 확률변수 F는 자유도가 ( k 1 , k 2 {\displaystyle k_{1},k_{2}} )인 F-분포를 따른다고 한다.

F = V 1 / k 1 V 2 / k 2 ∼ F ( k 1 , k 2 ) {\displaystyle F={\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F(k_{1},k_{2})}

F분포 F(d1, d2)를 따르는 무작위 변수의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

g ( x ) = 1 B ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) ( d 1 x d 1 x + d 2 ) d 1 / 2 ( 1 − d 1 x d 1 x + d 2 ) d 2 / 2 x − 1 {\displaystyle g(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (d_{1}/2,d_{2}/2)}}\;\left({\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}\;\left(1-{\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{2}/2}\;x^{-1}}
여기서 실수 x ≥ 0에 대해 d1과 d2는 양의 정수이며, B는 베타 함수이다.

누적 분포 함수는 다음과 같다.

G ( x ) = I d 1 x d 1 x + d 2 ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) {\displaystyle G(x)=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}

여기에서 I {\displaystyle I} 는 정규화 불완전 베타 함수이다.

특성함수는 다음과 같다.

φ ν 1 , ν 2 F = M ( ν 1 2 , − ν 2 2 , − i ν 2 ν 1 t ) {\displaystyle \varphi _{\nu _{1},\nu _{2}}^{F}=M\left({\frac {\nu _{1}}{2}},-{\frac {\nu _{2}}{2}},-i{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}t\right)}

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