Buckingham-π-theorema

Het Buckingham-π-theorema is een stelling uit de dimensieanalyse die stelt dat een natuurkundige vergelijking met ${\displaystyle n}$ variabelen geschreven kan worden als een vergelijking met ${\displaystyle n-m}$ dimensieloze grootheden. Hierbij is ${\displaystyle m}$ het aantal fundamentele dimensies (lengte, massa, tijd en dergelijke).

Als de natuurkundige variabelen worden gegeven door ${\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}$ en er een vergelijking geldt:

${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0}$,

dan kan deze herschreven worden tot een vergelijking

${\displaystyle F(\Pi _{1},\Pi _{2},\ldots ,\Pi _{n-m})=0}$,

waarin de dimensieloze grootheden ${\displaystyle \Pi _{i}}$ gegeven worden door:

${\displaystyle \Pi _{i}=q_{1}^{m_{1}}q_{2}^{m_{2}}\ldots q_{n}^{m_{n}}}$,

met ${\displaystyle (m_{i})}$ rationale getallen.

Het gebruik van de symbolen ${\displaystyle \Pi _{i}}$ als dimensieloze parameters werd geïntroduceerd door Edgar Buckingham in een artikel uit 1914.

Voorbeeld

Het theorema kan toegepast worden om een relatie af te leiden voor de slingertijd van een slinger.

De variabelen die de slinger beschrijven zijn: de slingertijd ${\displaystyle T}$, de massa ${\displaystyle M}$, de lengte ${\displaystyle l}$ en de (lokale) valversnelling ${\displaystyle g}$. In dit geval zijn er drie fundamentele dimensies, namelijk tijd (s), massa (kg), en lengte (m).

Stel de vergelijking is

${\displaystyle f(T,M,l,g)=0}$.

Deze kan volgens het theorema geschreven worden als

${\displaystyle F(\Pi )=0}$

waarin ${\displaystyle \Pi }$ een dimensieloze grootheid is die voldoet aan:

${\displaystyle \Pi =T^{m_{1}}M^{m_{2}}l^{m_{3}}g^{m_{4}}}$

Door de dimensies te analyseren volgen de waarden voor ${\displaystyle m_{i}}$:

${\displaystyle 1=[s]^{m_{1}}[kg]^{m_{2}}[m]^{m_{3}}([m]/[s]^{2})^{m_{4}}}$

waaruit volgt dat

${\displaystyle m_{2}=0}$

${\displaystyle m_{1}-2m_{4}=0}$

${\displaystyle m_{3}+m_{4}=0}$

Dit zijn 3 vergelijkingen met 4 onbekenden, zodat een van die onbekenden vrij gekozen kan worden, bijvoorbeeld ${\displaystyle m_{4}=1}$. Dan volgt: ${\displaystyle m_{1}=2,\ m_{2}=0,\ m_{3}=-1}$.

Er geldt dus voor ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \Pi =T^{2}gl^{-1}}$,

zodat

${\displaystyle F(T^{2}gl^{-1})=0}$

en:

${\displaystyle T^{2}gl^{-1}=K\ ({\text{constant}})}$

oftewel

${\displaystyle T=K{\sqrt {l/g}}}$

Er is echter meer inzicht of een experiment nodig om aan te tonen dat in dit geval er maar één nulpunt is en dat geldt ${\displaystyle K=2\pi }$.