Logistische functie

Logistische functie, specifiek de Sigmoidfunctie.

De logistische functie, zo genoemd door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst, beschrijft het verloop van de omvang N ( t ) {\displaystyle N(t)} van een populatie als functie van de tijd t {\displaystyle t} , als de verandering van de populatie-omvang zowel evenredig is:

  • met de huidige omvang N ( t ) {\displaystyle N(t)} van de populatie
  • als met de nog voorhanden "groeiruimte" M − N ( t ) {\displaystyle M-N(t)} ,

waarin M {\displaystyle M} de maximale omvang is die de populatie kan bereiken.

Deze eisen leiden tot de differentiaalvergelijking:

N ′ ( t ) = k N ( t ) ( M − N ( t ) ) {\displaystyle N'(t)=kN(t)(M-N(t))\,}

De oplossing daarvan is:

N ( t ) = N ( 0 ) M N ( 0 ) + e − M k t ( M − N ( 0 ) ) {\displaystyle N(t)=N(0){\frac {M}{N(0)+e^{-Mkt}\left(M-N(0)\right)}}}

die door scheiding van variabelen gevonden kan worden.

De grafiek van deze functie heeft een S-vorm (sigmoïde). Deze vorm laat zich als volgt interpreteren: In het begin ( t {\displaystyle t} klein) stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is. Aan het eind ( t {\displaystyle t} groot), stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch het maximum M {\displaystyle M} , omdat dan de begrenzing van de omvang de remmende factor is. In het begin heeft exponentiële groei de overhand, op het einde exponentiële krimp. Halverwege is er constante groei: als de populatiegrootte de helft van het maximum bereikt heeft, is de stijging het grootst.

Oplossing

De differentiaalvergelijking

d N d t = k N ( M − N ) {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}N}{{\rm {d}}t}}=kN(M-N)}

gaat door scheiding van variabelen over in:

d N N ( M − N ) = k d t {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}N}{N(M-N)}}=k\,{\rm {d}}t}

Door integratie en breuksplitsing volgt:

∫ k d t + C = ∫ 1 N ( M − N ) d N = 1 M ∫ ( 1 N + 1 M − N ) d N {\displaystyle \int k\,{\rm {d}}t+C=\int {\frac {1}{N(M-N)}}\,{\rm {d}}N={\frac {1}{M}}\int \left({\frac {1}{N}}+{\frac {1}{M-N}}\right)\,{\rm {d}}N}

zodat:

k M t + C ′ = ln ⁡ | N | − ln ⁡ | M − N | = ln ⁡ | N M − N | {\displaystyle kMt+C'=\ln |N|-\ln |M-N|=\ln \left|{\frac {N}{M-N}}\right|}

Daaruit volgt:

M − N N = M N − 1 = c e − M k t {\displaystyle {\frac {M-N}{N}}={\frac {M}{N}}-1=c\,e^{-Mkt}}

De integratieconstante c {\displaystyle c} kan uitgedrukt worden in de populatie-omvang op het tijdstip 0:

c = M N 0 − 1 {\displaystyle c={\frac {M}{N_{0}}}-1}

Toepassing

Logistische groei kan als model gebruikt worden voor bacteriekolonies en muizenpopulaties waarvan de populatie-omvang begrensd wordt door de beperkte aanwezigheid van voedsel.

Zie ook

  • Logistische verdeling