Positief-definiete matrix

In de lineaire algebra wordt een vierkante n×n-matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ positief-definiet genoemd, als alle elementen van ${\displaystyle \mathbf {A} }$ reëel zijn en de kwadratische vorm ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax} }$, waarin ${\displaystyle \mathbf {x} }$ een kolomvector in de ${\displaystyle n}$-dimensionale euclidische ruimte is, positief-definiet is, dus als ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax} >0}$ als ${\displaystyle \mathbf {x} }$ niet gelijk is aan de nulvector.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$ is de getransponeerde matrix van ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Meestal wordt verondersteld dat ${\displaystyle \mathbf {A} }$ een symmetrische matrix is, maar een positief-definiete matrix hoeft niet symmetrisch te zijn:

De ${\displaystyle 2\times 2}$ matrix van een vlakke rotatie over een hoek ${\displaystyle 0\leq \theta <90^{\circ }}$ is niet symmetrisch, maar wel positief definiet.

Wanneer in de definitie '${\displaystyle >0}$' wordt vervangen door '${\displaystyle <0}$', spreekt men van een negatief-definiete matrix.

Eigenschappen

• Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
• De som van twee positief-definiete ${\displaystyle n\times n}$-matrices is positief-definiet.

• Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&3\\3&10\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1&-3\\-3&10\end{bmatrix}}}$

zijn beide positief-definiet. Hun product

${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}-8&27\\-27&91\end{bmatrix}}}$

is daarentegen niet positief-definiet.

• Een vierkante matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ kan altijd worden geschreven als de som ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} +\mathbf {C} }$ van een symmetrische matrix ${\displaystyle \mathbf {B} =(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\text{T}})/2}$ en een antisymmetrische matrix ${\displaystyle \mathbf {C} =(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\text{T}})/2}$. De matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ is dan en slechts dan positief-definiet als het symmetrische deel van ${\displaystyle \mathbf {A} }$ positief-definiet is.
• Met ${\displaystyle \theta =\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {Ax} )}$ is

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {Ax} \|}}={\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {Ax} \rangle }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {Ax} \|}}}$,

• Een symmetrische matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ is positief-definiet dan en slechts dan als alle eigenwaarden van ${\displaystyle \mathbf {A} }$ strikt positief zijn. De determinant van een symmetrische positief-definiete matrix is ook strikt positief, omdat de determinant gelijk is aan het product van de eigenwaarden.
• Een symmetrische matrix die positief-definiet is, heeft dus ook een inverse matrix. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is positief-definiet.
• Matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van ${\displaystyle \mathbf {A} }$ strikt positief is.

Als ${\displaystyle \mathbf {A} }$ een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit ${\displaystyle \mathbf {A} }$ wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit ${\displaystyle \mathbf {A} }$ weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van ${\displaystyle \mathbf {A} }$ strikt positief.

• Een positief-definiete matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ heeft een unieke decompositie ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LR} }$ in een benedendriehoeksmatrix ${\displaystyle \mathbf {L} }$, met 1-en op de hoofddiagonaal, en een bovendriehoeksmatrix ${\displaystyle \mathbf {R} }$, met niet-nul-elementen op de diagonaal.

De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{\text{T}}}$, waarin ${\displaystyle L}$ een benedendriehoeksmatrix is.

• Een matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ bestaat zodanig dat ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} ^{\text{T}}\mathbf {Q} }$
• Als ${\displaystyle \mathbf {A} }$ positief-definiet is, dan is voor ieder positieve gehele getal ${\displaystyle p}$ ook ${\displaystyle \mathbf {A} ^{p}}$ positief-definiet.
• Als ${\displaystyle \mathbf {A} }$ positief-definiet is, bestaat de matrix ${\displaystyle \mathbf {A} ^{1/p}}$ voor ieder positieve gehele getal ${\displaystyle p}$, dat wil zeggen dat er een matrix ${\displaystyle \mathbf {B} }$ bestaat, zodat ${\displaystyle \mathbf {B} ^{p}=\mathbf {A} }$.

Voorbeelden

• De identiteitsmatrix en elke diagonaalmatrix met strikt positieve elementen zijn positief-definiet.
• Hilbert-matrices.

Semi-definiete matrix

Men heeft een positief semi-definitieve matrix ${\displaystyle \mathbf {A} }$ wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax} \geq 0}$. Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\text{T}}\mathbf {Ax} \leq 0}$ voor alle ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ongelijk aan de nulvector.

Belang

• Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van lineaire vergelijkingen positief-definiet is, heeft het stelsel een oplossing.

• De positief-definietheid van de hessiaan van een scalaire functie van ${\displaystyle n}$ variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

• Positief-definiete matrices treden op in methoden van lineaire regressie, bijvoorbeeld de kleinste-kwadratenmethode.

• In de statistiek is de covariantiematrix van een aantal toevalsvariabelen positief-definiet of indien een van de variabelen een lineaire combinatie is van de andere positief-semidefiniet.

Literatuur

• CR Johnson. Positive Definite Matrices, 1970. American Mathematical Monthly 77, 3, blz 259-264