Eulers likhet

Grafisk fremstilling av Eulers likhet i det komplekse planet. Den forbinder +1 med -1 ved eiπ. Adderer man til 1, fører det til 0.

Eulers likhet er et spesialtilfelle av Eulers formel i matematisk analyse og er betegnelsen på likningen

e i π + 1 = 0 , {\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,\!}

der

e {\displaystyle e\,\!} er Eulers tall, grunntallet til den naturlige logaritmen,
i {\displaystyle i\,\!} er den imaginære enheten, en av de to komplekse tallene som kvadrert blir -1 (det andre er − i {\displaystyle -i\,\!} ), og
π {\displaystyle \pi \,\!} er pi, forholdet mellom en sirkels omkrets og diameter.

Eulers likhet er oppkalt etter Leonhard Euler og er også kjent som Eulers likning.

Likhetens natur

Eulers likhet er av mange sett på som spesiell grunnet dens matematiske skjønnhet. Tre grunnleggende aritmetiske operasjoner opptrer én gang hver: addisjon, multiplikasjon, og potenser. Likheten forbinder også fem matematiske konstanter:

  • Tallet 0.
  • Tallet 1.
  • Tallet π, som er å finne overalt innen trigonometri, geometrien til Euklidisk vektorrom, og matematisk analyse.
  • Tallet e, grunntallet til den naturlige logaritmen, som svært ofte forekommer i matematisk analyse (e ≈ 2.71828).
  • Tallet i, imaginære enheten til komplekse tall.

Videre, i matematisk analyse, er det vanlig å skrive likninger med null på en side.

Utledning

Eulers generelle formel.

Likheten er et spesialtilfelle av Eulers formel fra kompleks analyse, som sier at

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}

for alle reelle tall x. (Bemerk at argumentene til de trigonometriske funksjonene sin and cos oppgis i radianer.)

Hvis vi sier at

x = π , {\displaystyle x=\pi ,\,\!}

da er

e i π = cos ⁡ π + i sin ⁡ π . {\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}

Siden

cos ⁡ π = − 1 {\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}

og

sin ⁡ π = 0 , {\displaystyle \sin \pi =0,\,\!}

betyr det at

e i π = − 1 , {\displaystyle e^{i\pi }=-1,\,\!}

som gir likheten

e i π + 1 = 0. {\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}

Tilskrivelse

Selv om man vet at Euler med sin formel relaterte e til cos og sin begrepene, har man ikke noe materiale som tilsier at han faktisk utledet selve likheten. Derimot var formelen mest sannsynlig kjent før Euler. Spørsmålet om Euler burde tilskrives denne formelen er dermed ubesvart.

Litteratur

  • C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1968). ISBN 0-691-02391-3.
  • E. Maor, e: the Story of a Number, Princeton University Press, New Jersey (1994). ISBN 978-0-691-14134-3.
  • C.E. Sandifer, How Euler Did It, The Mathematical Association of America (2007). ISBN 978-0-88385-563-8. Google Book. Se p.4 om Eulers likhet.