Kronecker-delta

Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet. Helt uten kilder. (10. okt. 2015)

Det matematiske symbolet Kronecker-delta ${\displaystyle \delta _{ij}}$, som var innført av Leopold Kronecker, er en funksjon av to variabler. Kalles også Kronecker-symbol og delta-funksjon.

Definisjon

Kronecker-delta er definert som:

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{for }}i=j\\0&{\mbox{for }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

hvor i og j er elementer i en mengde ${\displaystyle I}$.

Egenskaper

Kronecker-delta er ofte skrevet som

${\displaystyle \delta =\mathrm {1} _{D}:I\times I\to \{0,1\}}$,

når den står for den karakteristisk funksjonen ${\displaystyle \mathrm {1} _{D}}$ i en diagonalmengde.

${\displaystyle D=\{(i,j)\in I\times I:\;i=j\}}$.

For kontinuerlige indekser går Kronecker-delta over i Diracs deltafunksjon.

Eksempel på bruk

Innen lineær algebra er symbolet brukt for å uttrykka enhetsmatrisen ${\displaystyle n\times n}$ som ${\displaystyle (\delta _{ij})}$ med ${\displaystyle {1\leq i,j\leq n}}$. En 3x3 enhetsmatrise kan uttrykkes som:

${\displaystyle (\delta _{ij})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$.

Kronecker-delta kan brukes for å uttrykke skalarproduktet av to orthonormale vektorer:

${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ som ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}}$.

Innen signalbehandling og reguleringsteknikk er symbolet brukt for å representere en impuls:

${\displaystyle \delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$