L’Hôpitals regel

L'Hôpitals regel er en regel innenfor matematikken som brukes til å bestemme grenseverdier av ubestemmelige uttrykk som 0⁰, 0/0, ∞/∞ og lignende. Regelen sier at en kan finne grenseverdien ved å derivere teller og nevner i uttrykket hvis det står på formen 0/0 eller ∞/∞.

Den er oppkalt etter Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, som først publiserte den.

Regel

• Gitt funksjonene f(x) og g(x)

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0.\,}$

• eller:

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,\,}$

• Er grenseverdien gitt ved:

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$

Eksempler

• Et enkelt eksempel på bruk av L'Hôpitals regel:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}}{2x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x}{4x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}}}$

• Et litt mer komplisert uttrykk er gitt ved følgende ligning:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}&=\lim _{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}\\&=\lim _{x\to 0}{-2\sin x+4\sin 2x \over \sin x}\\&=\lim _{x\to 0}{-2\cos x+8\cos 2x \over \cos x}\\&={-2\cos 0+8\cos 0 \over \cos 0}\\&=6\end{aligned}}}$

• Her er et eksempel på et ∞/∞ uttrykk:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ 1/(2{\sqrt {x}})\ }{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty }$

• 0×∞ uttrykk:

${\displaystyle \lim _{x\to 0+}(x\ln x)=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}=\lim _{x\to 0+}{1/x \over -1/x^{2}}=\lim _{x\to 0+}-x=0}$

• For å regne ut uttrykk av formen 0⁰ må uttrykket omskrives. Vi bruker resultatet fra forrige eksempel til å fastslå grenseverdien:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{x}=e^{\lim _{x\to 0}(x\ln x)}=e^{0}=1.}$

Litteratur

• Chatterjee, Dipak (2005), Real Analysis, PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4 
• Krantz, Steven G. (2004), A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., ss. xiv+201, DOI:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN 0-8176-4329-X, MR 2015447 
• Lettenmeyer, F. (1936), «Über die sogenannte Hospitalsche Regel», Journal für die reine und angewandte Mathematik 174: 246–247, DOI:10.1515/crll.1936.174.246 
• Taylor, A. E. (1952), «L'Hospital's rule», Amer. Math. Monthly 59: 20–24, DOI:10.2307/2307183, ISSN 0002-9890, MR 0044602 
• Wazewski, T. (1949), «Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations» (på fransk), Prace Mat.-Fiz. 47: 117–128, MR 0034430