Naturlig transformasjon
En naturlig transformasjon er en transformasjon som tar en funktor til en annen på en måte som respekterer funktorstrukturen. Naturlige transformasjoner kan dermed sees på som funksjoner mellom funktorer, og dette kan formaliseres gjennom funktorkategorier.
Definisjon
Dersom F : C → D og G : C → D er to kovariante funktorer mellom kategoriene C og D, er en naturlig transformasjon fra F til G en tilordning η som for hvert objekt X i C tilordner en morfi ηX : F(X) → G(X) kalt komponenten ved X, slik at det følgende diagrammet kommuterer:
Dersom F eller G er kontravariante, erstattes de med henholdsvis Fop eller Gop i definisjonen over.
Eksempler
| Identitetstransformasjon | Det finnes en naturlig transformasjon fra enhver funktor F : C → D til seg selv, gitt ved ηX = idX. |
| Dobbeldualrom | For et hvert vektorrom V over K, er dualrommet definert som vektorrommet V* = Hom(V, K). Tilordningen som tar V til det doble dualrommet V** er en funktor, og det finnes en naturlig transformasjon fra identitetsfunktoren på K-Vect til den doble dualromsfunktoren. Denne er gitt ved ηX(v)(f) = f(v) for v ∈ V og f ∈ V*. |
Litteratur
- Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd utgave), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8
- MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd utgave), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-1646-2 .
Eksterne lenker
- nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view
- J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats Arkivert 21. april 2015 hos Wayback Machine. (PDF)
- Category Theory, av Jean-Pierre Marquis, fra Stanford Encyclopedia of Philosophy
- Baez, John, 1996, The Tale of n-categories., An informal introduction to higher order categories
- The catsters, a YouTube channel about category theory.
- Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics
- Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets
