Pytagoreisk trippel

Et pytagoreisk trippel er tre positive heltall $a$ , $b$ og $c$ som oppfyller den pytagoreiske ligningen^[1]

a^{2}+b^{2}=c^{2}

En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er $(a,b,c)$ , med tallene ordnet i stigende rekkefølge. Et velkjent eksempel er (3,4,5). Ved å kreve heltallsløsninger blir Pytagoras ligning en ikkelineær diofantisk ligning.

Navnet «pytagoreisk trippel» har opphav i den greske matematikeren Pytagoras og Pytagoras’ læresetning. Dersom alle sidelengdene i en rettvinklet trekant er heltallsverdier, så danner sidelengdene et pytagoreisk trippel der a og b utgjør katetene og c hypotenusen. Omvendt vil en trekant med sidelengder lik et pytagoreisk trippel være rettvinklet. Mens hypotenusen c alltid er et oddetall, vil de to katetene a og b alltid være et like og et ulike tall.

I et primitivt pytagoreisk trippel har tallene $a$ , $b$ og $c$ ingen felles faktorer. Det eksisterer flere formler for å konstruere pytagoreiske tripler, både primitive og ikke-primitive.

Pytagoreiske tripler har vært kjent både i babylonsk, egyptisk, kinesisk og indisk matematikk lenge før Pytagoras levde. For en omtale av historien til pytagoreiske tripler, se Pytagoras’ læresetning.

Primitive pytagoreiske tripler

Definisjon

Dersom $(a,b,c)$ er et pytagoreisk trippel, så vil også $(na,nb,nc)$ være det, for et vilkårlig heltall $n$ . Fra dette følger det automatisk at det finnes uendelig mange pytagoreiske tripler. Dersom de tre tallene $a$ , $b$ , og $c$ ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for et primitivt trippel.^[2] Tallene er da relativt primiske. Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2.

Elementære egenskaper

For primitive pytagoreiske tripler gjelder følgende elementære egenskaper

c er alltid oddetall. Ett av tallene a og b er oddetall, det andre er partall.

Eksempler

Der finnes 16 primitive pytagoreiske tripler med $c\leq 100$ :

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Den følgende listen viser primitive pytagoreiske tripler med $100<c\leq 300$ :

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Konstruksjon av pytagoreiske tripler

Formler for å konstruere pytagoreiske tripler har vært kjent i svært lang tid. I bok X av Euklids Elementer beskrives hvordan man kan beregne pytagoreiske tripler.^[3] I moderne notasjonen tilsvarer denne fremgangsmåten uttrykket

(a,b,c)=(\ 2uv,u^{2}-v^{2},u^{2}+v^{2})

hvor $u$ og $v$ er to vilkårlige, positive heltall som ikke begge er oddetall. Dessuten er $u>v$ , og de to tallene skal ikke ha noen felles faktor.

En lignende formel var tidligere funnet av Pytagoras,

(a,b,c)={\big (}m,{\tfrac {1}{2}}(m^{2}-1),{\tfrac {1}{2}}(m^{2}+1){\big )}

der m er et oddetall. En lignende formel ble foreslått av Platon ved å doble sidelengdene i Pytagoras' formel og så tillate både like og ulike verdier for heltallet m. Begge formlene er spesielle utgaver av den mer generelle formelen til Euklid.^[4]

Rasjonale punkt på en enhetssirkel

En enkel omforming av ligningen for et pytagoreisk trippel gir

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1

Å finne pytagoreisk tripler svarer altså til å finne et punkt på enhetssirkelen x² + y² = 1, der koordinatene er gitt ved to rasjonale tall.^[5]

Slike rasjonale punkt på enhetssirkelen kan finnes ved å skjære den med en rett linje y = t (x + 1) gjennom punktet (-1,0) og med et stigningstall t som er er rasjonalt tall. Innsatt i sirkelligningen, finner man dermed x-koordinaten til skjæringspunktet fra

(x+1)\left[(x-1)+t^{2}(x+1)\right]=0

Bortsett fra den trivielle løsningen x = -1, er den andre løsningen

x={1-t^{2} \over 1+t^{2}}\;\;\;{\text{som betyr at}}\;\;y={2t \over 1+t^{2}}

Ved å uttrykke det rasjonale tallet t ved to heltall u og v som t = v/u, får man fra denne løsningen (x,y) = (a/c, b/c) at

\left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)=\left({\frac {u^{2}-v^{2}}{u^{2}+v^{2}}},{\frac {2uv}{u^{2}+v^{2}}}\right)

som er innholdet av Euklids formel for pytagoreiske trippel.^[6]

Pytagoreiske primtall

Hypotenusen c i en rettvinklet trekant med sider gitt ved et pytagoreisk trippel (a,b,c) er alltid et oddetall. Mange av dem er primtall p. De ti første er p = 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73 og 89. De kalles for «pytagoreiske primtall» og er alle på formen 4n + 1 hvor n et et naturlig tall. Det som gjør dem spesielle, er at hvert av dem kan skrives på en entydig måte som summen av to kvadrat,

p=u^{2}+v^{2}

i overensstemmelse med Euklids formel. For eksempel er 5 = 1² + 2² og 89 = 5² + 8².

Generelt er summen av et kvadrert liketall og et kvadrert oddetall av formen 4n + 1 eller 4n + 3 der n et et naturlig tall. Allerede rundt 1640 påpekte Fermat at primtall av formen 4n + 1 kan skrives som summen av to kvadrat.^[6]

Generaliseringer

Pytagoreiske tripler er løsninger av den diofantiske ligningen

a^{n}+b^{n}=c^{n}

når $n=2$ . Pierre de Fermat skrev i 1637 i margen til en bok at han hadde funnet et bevis for at ligningen ikke har løsninger for $n>2$ , uten senere å gi noe bevis. Påstanden er i ettertiden kalt Fermats siste teorem. Et bevis for dette teoremet ble først gitt av Andrew Wiles i 1994.

Referanser

^ G.H. Hardy, E.W. Wright (2008). An introduction to the theory of numbers. Oxford: Oxford University Press. s. 245-247. ISBN 978-0-19-921985-8.
^ Judith D. Sally, Paul Sally (2007). Roots to research: A vertical development of mathematical problems (engelsk). American Mathematical Society Bookstore. s. 63ff. ISBN 978-0-8218-4403-8.
^ A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.49
^ T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.81
^ A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.21ff
^ ^a ^b J. Stillwell, Elements of Number Theory, Springer-Verlag, New York (2003). ISBN 978-1--4419-3066-8.

Litteratur

Holme, Audun (2008). Matematikkens historie. 1. Bergen: Fagbokforlaget. ISBN 978-82-450-0697-1.
Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8.