Acarretamento

Em lógica, o acarretamento (ou implicação lógica ou consequência semântica) é uma relação entre sentenças de uma linguagem formal de tal forma que se ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ é um conjunto de sentenças e se ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ é uma sentença, então podemos concluir que a sentença ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ é verdadeira desde que todas as sentenças em ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ o sejam.

Em símbolos,

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}\vDash {\boldsymbol {\alpha }}}$

significa que o conjunto de sentenças de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ acarreta, ou tem como consequência semântica, a sentença ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$. Note que o acarretamento é uma relação semântica.

Tome como exemplo as seguintes sentenças:

(a) Dexter é americano.
(b) Dexter é um assassino.
(c) Dexter é um assassino americano.

Se as afirmações (a) e (b) são verdadeiras, nós sabemos que (c) é verdadeira. Podemos dizer que:

(a) , (b) ${\displaystyle \vDash }$ (c)

(a) e (b) acarretam (c) porque a situação descrita por (c) segue da situação descrita por (a) e (b) juntas.

De uma forma mais técnica, podemos dizer que ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ acarreta ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ se para toda atribuição de valores verdade P tal que ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}(\beta )=1}$ para toda proposição ${\displaystyle \beta \in {\boldsymbol {\Gamma }}}$, então ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}(\alpha )=1}$.

Exemplo 1

${\displaystyle \alpha ,\alpha \to \beta \vDash \beta }$

De fato, ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}(\alpha \to \beta )=0}$ se , e somente se, ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}(\alpha )=1}$ e ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}(\beta )=0}$. Portanto, se ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}(\alpha \to \beta )=1}$ e ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}(\alpha )=1}$, então necessariamente ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{P}(\beta )=1}$. Assim, dizemos que o conjunto de sentenças { ${\displaystyle \alpha ,\alpha \to \beta }$ } acarreta a sentença ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$.

Exemplo 2

Tome ${\displaystyle A=\{\forall x\exists y:x=y\}}$ e ${\displaystyle B=\{\exists x:x=x\}}$. Então A não acarreta B, uma vez que um domínio vazio é um modelo de A mas não é um modelo de B. Ou seja, não é o caso que todos os modelos de A são modelos de B.

Relação entre acarretamento e dedução

Idealmente, acarretamento e dedução são extensionalmente equivalentes. Contudo, isso não é sempre o caso.

Um sistema dedutivo S é completo para a linguagem L se e somente se ${\displaystyle A\models _{L}X}$ implica ${\displaystyle A\vdash _{S}X}$: isto é, se todos os argumentos válidos são dedutíveis (ou prováveis) onde ${\displaystyle \vdash _{S}}$ denota a relação de deducibilidade para o sistema S.

Um sistema dedutivo S é correto para uma linguagem L se e somente se ${\displaystyle A\vdash _{S}X}$ implica ${\displaystyle A\models _{L}X}$: isto é, se argumentos não-inválidos são prováveis.

Relação com condição lógica

Em alguns casos, acarretamento corresponde à condição lógica (denotado por ${\displaystyle \supset }$) da seguinte forma: na lógica clássica, ${\displaystyle A\vDash B}$ se e somente se existem alguns subconjuntos finitos ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}}$ de A e ${\displaystyle \{B_{1},\dots ,B_{m}\}}$ de B onde ${\displaystyle \varnothing \models A_{1}\land \dots \land A_{n}\supset B_{1}\lor \dots \lor B_{m}}$.

Bibliografia

• Bedregal, Benjamín René Callejas, e Acióly, Benedito Melo (2007), Lógica para a Ciência da Computação, Versão Preliminar, Natal, RN.