Coordenadas cilíndricas parabólicas
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Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a . Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.
Definição básica
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Parabolic_coords.svg/250px-Parabolic_coords.svg.png)
As coordenadas cilíndricas parabólicas são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z) por:
As superfícies com constante formam cilindros parabólicos confocais de equações
com concavidade voltada para a direção , ao passo que as superfícies com constante formam cilindros parabólicos confocais de equações
com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção . Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por . O raio r tem uma equação simples, a saber,
que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.
Fatores de escala
Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas e são:
O elemento infinitesimal de volume é
e o laplaciano é igual a
Outros operadores diferenciais tais como e podem ser expressos nas coordenadas substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.
Harmônicos cilindro parabólico
Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como:
E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como:
Uma vez que a equação em Z está separada dos outros termos, podemos escrever
Onde m é constante. A solução para Z(z) é:
Substituindo por , a equação de Laplace agora pode ser escrita como:
Ainda podemos separar as funções S e T e introduzir uma constante para obter:
As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico
Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:
Aplicações
As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.
Ver também
- Coordenadas ortogonais
- Sistemas de coordenadas ortogonais bidimensionais:
- Sistema de coordenadas cartesianas
- Sistema de coordenadas polares
- Sistema de coordenadas parabólicas
- Coordenadas bipolares
- Coordenadas hiperbólicas
- Coordenadas elípticas
- Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:
- Sistema de coordenadas cartesianas
- Sistema de coordenadas cilíndricas
- Sistema de coordenadas esféricas
- Sistema de coordenadas parabólicas
- Coordenadas cilíndricas parabólicas
- Coordenadas paraboloidais
- Coordenadas esferoidais oblatas
- Coordenadas esferoidais prolatas
- Coordenadas elipsoidais
- Coordenadas cilíndricas elípticas
- Coordenadas toroidais
- Coordenadas biesféricas
- Coordenadas cilíndricas bipolares
- Coordenadas cônicas
- Coordenadas cíclides anel-plano
- Coordenadas cíclides disco plano
- Coordenadas bicíclides
- Coordenadas cap-cíclides
Referências
- Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Parabolic cylindrical coordinates», especificamente desta versão.
- Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, LCCN 52-11515|0-07-043316-X, <span class="noprint">[[Library of Congress Control Number|LCCN]] [http://lccn.loc.gov/52011515 52-11515]</span>]] Verifique
|isbn=
(ajuda) - Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 186–187. LCCN 55-10911
- Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 181. LCCN 59-14456, ASIN B0000CKZX7
- Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 96. LCCN 67-25285
- Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9 Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
- Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd, 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302
Ligações externas
- Descrição do MathWorld para as coordenadas cilíndricas parabólicas – inglês