Densidade espectral

Densidade espectral, ou power spectral density (PSD), ou energy spectral density (ESD); é uma função real positiva de uma frequência variável associada com um processo estocástico, ou uma função determinística do tempo, que possua dimensão de energia ou força por Hertz. Geralmente é chamada apenas por espectro do sinal. Intuitivamente, a densidade espectral auxilia na captura da frequência do processo estocástico e identifica periodicidades.

Na física, o sinal geralmente surge como uma função de onda - como por exemplo ocorre na radiação eletromagnética - ou em ondas sonoras. A densidade de espectro da onda, quando multiplicado pelo fator apropriado dá a força carregada pela onda, por unidade de frequência, tratada como a densidade espectral de força (power spectral density) do sinal. Ela é geralmente expressada na unidade Watts por Hertz ( W / H z   {\displaystyle W/Hz\ } ).[1]

Definição

Densidade espectral de energia

A densidade espectral de energia descreve como a energia de um sinal ou uma série temporal será distribuída com frequência. Se f ( t )   {\displaystyle f(t)\ } é uma função integrável de energia finita, a densidade espectral Φ ( ω ) {\displaystyle \Phi (\omega )} do sinal será o quadrado da magnitude da transformada de Fourier do sinal.

Φ ( ω ) = | 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t | 2 = F ( ω ) F ∗ ( ω ) 2 π {\displaystyle \Phi (\omega )=\left|{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt\right|^{2}={\frac {F(\omega )F^{*}(\omega )}{2\pi }}}

onde ω {\displaystyle \omega } é a frequência angular e F ( ω ) {\displaystyle F(\omega )} é a transformada de Fourier de f ( t ) {\displaystyle f(t)} , e F ∗ ( ω ) {\displaystyle F^{*}(\omega )} é seu conjugado complexo.

Se os sinais forem discretos com valores f n {\displaystyle f_{n}} , sobre um infinito número de elementos, ainda têm-se uma densidade espectral de energia:

Φ ( ω ) = | 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ f n e − i ω n | 2 = F ( ω ) F ∗ ( ω ) 2 π {\displaystyle \Phi (\omega )=\left|{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{n}e^{-i\omega n}\right|^{2}={\frac {F(\omega )F^{*}(\omega )}{2\pi }}}

onde F ( ω ) {\displaystyle F(\omega )} é a transformada de Fourier de tempo discreto de f n {\displaystyle f_{n}} .

Densidade espectral de potência

A definição acima de densidade espectral de energia requer que a transformada de Fourier exista, ou seja, que a integral quadrada seja calculável, isto nem sempre é possível. Uma alternativa mais comum é a densidade espectral de força, que descreve como a força de um sinal ou tempo serial é distribuído com frequência. Conceitua-se força como a força física ou, mais comumente, como a força dissipada à carga, se o sinal for uma tensão elétrica aplicada no sistema. Esta força instantânea é dada por

P ( t ) = s ( t ) 2   {\displaystyle P(t)=s(t)^{2}\ }

para um sinal s ( t ) {\displaystyle s(t)} .

Já que um sinal com força média não nula não terá integral quadrada calculável, a transformada de Fourier não se aplicará a este caso. Sendo necessário recorrer ao Teorema de Wiener–Khinchin, o qual provê uma alternativa. Neste teorema o sinal pode ser tratado como um processo estacionário.[2] Que pode ser escrito como

S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − 2 π i f τ d τ = F ( R ( τ ) ) . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\,R(\tau )\,e^{-2\,\pi \,i\,f\,\tau }\,d\tau ={\mathcal {F}}(R(\tau )).}

A média do conjunto para o intervalo quando o tempo tender para o infinito pode ser provado (Brown & Hwang[3]) pelo método da densidade espectral de força:

E [ | F ( f T ( t ) ) | 2 T ] → S ( f ) {\displaystyle E\left[{\frac {|{\mathcal {F}}(f_{T}(t))|^{2}}{T}}\right]\to S(f)}

A força do sinal na frequência dada pode ser calculada pela integral sobre as frequências positivas e negativas,

P = ∫ F 1 F 2 S ( f ) d f + ∫ − F 2 − F 1 S ( f ) d f . {\displaystyle P=\int _{F_{1}}^{F_{2}}\,S(f)\,df+\int _{-F_{2}}^{-F_{1}}\,S(f)\,df.}

A densidade espectral de força de um dado sinal existe se e somente se o sinal pertencer a um processo estacionário. Se o sinal não for estacionário, então a função correlacional precisará ser uma função de duas variáveis e a densidade espectral de força não existirá.

A densidade espectral de força G ( f ) {\displaystyle G(f)} é definida como[4]

G ( f ) = ∫ − ∞ f S ( f ′ ) d f ′ . {\displaystyle G(f)=\int _{-\infty }^{f}S(f^{\prime })\,df^{\prime }.}

Aplicações

O conceito de densidade espectral de um sinal é fundamental para a engenharia eletrônica, especialmente em telecomunicação. Muito esforço tem sido feito para se desenvolver o que ficou conhecido por analisador de espectro para auxiliar engenheiros dos mais diversos campos na medição e observação da densidade espectral de força de um sinal elétrico.

Referências

  1. ↑ Gérard Maral (2003). VSAT Networks (em inglês). [S.l.]: John Wiley and Sons. ISBN 0470866845  A referência emprega parâmetros obsoletos |lingua2= (ajuda)
  2. ↑ Dennis Ward Ricker (2003). Echo Signal Processing (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 140207395X  A referência emprega parâmetros obsoletos |lingua2= (ajuda)
  3. ↑ Robert Grover Brown & Patrick Y.C. Hwang (1997). Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0471128392  A referência emprega parâmetros obsoletos |lingua2= (ajuda)
  4. ↑ Wilbur B. Davenport & Willian L. Root (1987). An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise (em inglês). New York: IEEE Press. ISBN 0-87942-235-1  A referência emprega parâmetros obsoletos |lingua2= (ajuda)

Ver também

Ligações externas

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