Expoente de Lyapunov

O expoente de Lyapunov de um sistema dinâmico, epônimo de Aleksandr Lyapunov, descreve a velocidade de fase com a qual dois pontos próximos no espaço fásico aproximam-se ou afastam-se. Para uma dimensão do espaço de fase existe um expoente de Lyapunov que forma o espectro de Lyapunov. Frequentemente interessa observar apenas o maior expoente de Lyapunov, pois este determina o comportamento geral do sistema.

No espaço unidimensional o expoente de Lyapunov ${\displaystyle \lambda }$ é uma transformação iterada ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$ como definida a seguir:

${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\ln \left|{\frac {df^{N}(x_{0})}{dx}}\right|}$ .

Propriedades

• Se o maior expoente de Lyapunov é positivo, o sistema é via de regra divergente
• Se o maior expoente de Lyapunov é negativo, isto corresponde a uma contração do espaço de fase, isto é, o sistema é dissipativo e age estacionário ou periodicamente estável
• Se a soma dos expoentes de Lyapunov é nula, trata-se de um sistema conservativo.

Bibliografia

• Kantz, H. e Schreiber, T.: Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-52902-6